Determine os limites infinitos, quando existirem:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^{2}}
que é um exemplo de limite infinito, pois queremos ver se a expressão cresce sem bound quando x se aproxima de 2. Para isso, vamos analisar o comportamento de (x-2)^{2} e o sinal da fração.

Passo 2

Quando x se aproxima de 2 (tanto pela direita quanto pela esquerda), o termo (x-2)^{2} tende a zero. Como é um quadrado, temos sempre
(x-2)^{2}>0
para x\neq 2. Assim, o denominador fica cada vez menor e positivo.

Passo 3

Como o numerador é constante igual a 1 e o denominador (x-2)^{2} tende a 0^{+}, o quociente tende a +\infty. Em notação:
(x-2)^{2}\to 0^{+} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(x-2)^{2}}\to +\infty.

Resposta

\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^{2}} = +\infty

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