Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais conveniente.
, onde
é a região circular no primeiro quadrante limitado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os limites de integração para a integral dupla
e (2) calcular essa integral, escolhendo a ordem/coordenadas mais convenientes.
Informações dadas sobre a região :
Informações dadas sobre a região
-
está no primeiro quadrante. - Uma fronteira é a circunferência dada por
, isto é, a circunferência de raio centrada na origem: . - Outra fronteira é a reta
, que pode ser escrita como . - A terceira fronteira é o eixo
.
Portanto
é a região no primeiro quadrante limitada por
(abaixo), pela reta
(num lado) e pela circunferência
(por fora).
Passo 2
Escolha do método: como a região é uma “fatia” de um círculo (limite externo é
e os dois lados passam pela origem:
e
), é muito mais natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares as curvas
vira
(círculo de raio constante) e retas que passam pela origem viram ângulos constantes. Isso simplifica fortemente os limites e a integral.
Passo 3
Determinar os limites em polares:
- Interseção da reta
com a circunferência . Substituindo:
e então
. O ponto de interseção é
. Note que
, consistente com o raio 5.
-
O ângulo associado à reta é dado por
. Logo o ângulo limite superior é . O limite inferior, vindo de no primeiro quadrante, é . -
O raio
vai da origem até a circunferência . Portanto os limites em polares são
Passo 4
Relembrando a transformação para coordenadas polares (mini-aula rapidinha e prática):
- Relações entre cartesianas e polares:
- Elemento de área em polares: quando fazemos a mudança de variáveis
o elemento de área transforma-se em
Isto acontece porque pequenos retângulos em polares têm área aproximadamente
, daí o fator
(jacobiano). Sempre lembrar:
.
Passo 5
Escrever a integral em polares. O integrando é
, que vira
. Assim
Agrupando os fatores:
Note que
não depende de
, então dá para separar as integrais.
Passo 6
Calcular a integral passo a passo:
- Integral em
:
- Substituindo na integral em
:
- Integral em
:
Agora calcular
: para
com
, construir o triângulo retângulo com catetos
(oposto) e
(adjacente), hipotenusa
. Logo
- Portanto
Fazer a simplificação:
Passo 7
Resumo e verificação rápida: o uso de coordenadas polares transformou a região em um retângulo nos parâmetros
, o fator
do elemento de área foi incluído corretamente e a trigonometria do triângulo
simplificou a avaliação do seno. O resultado é um número simples e coerente.
Resposta
25