Determine os limites de integração e calcule a integral utilizando a ordem mais conveniente.
\iint_{D} x d A, onde D é a região circular no primeiro quadrante limitado por y=
\sqrt{25-x^{2}}, 3 x-4 y=0 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar os limites de integração para a integral dupla \iint_{D} x\,dA e (2) calcular essa integral, escolhendo a ordem/coordenadas mais convenientes.
Informações dadas sobre a região D:
  • D está no primeiro quadrante.
  • Uma fronteira é a circunferência dada por y=\sqrt{25-x^{2}}, isto é, a circunferência de raio 5 centrada na origem: x^{2}+y^{2}=25.
  • Outra fronteira é a reta 3x-4y=0, que pode ser escrita como y=\tfrac{3}{4}x.
  • A terceira fronteira é o eixo y=0.
Portanto D é a região no primeiro quadrante limitada por y=0 (abaixo), pela reta y=\tfrac{3}{4}x (num lado) e pela circunferência x^{2}+y^{2}=25 (por fora).

Passo 2

Escolha do método: como a região é uma “fatia” de um círculo (limite externo é x^{2}+y^{2}=25 e os dois lados passam pela origem: y=0 e y=\tfrac{3}{4}x), é muito mais natural usar coordenadas polares. Em coordenadas polares as curvas x^{2}+y^{2}=25 vira r=5 (círculo de raio constante) e retas que passam pela origem viram ângulos constantes. Isso simplifica fortemente os limites e a integral.

Passo 3

Determinar os limites em polares:
  • Interseção da reta y=\tfrac{3}{4}x com a circunferência x^{2}+y^{2}=25. Substituindo:
x^{2}+\left(\tfrac{3}{4}x\right)^{2}=25
x^{2}+\tfrac{9}{16}x^{2}=\tfrac{25}{16}x^{2}=25
x^{2}=16\quad\Rightarrow\quad x=4\\ (\text{primeiro quadrante})
e então y=\tfrac{3}{4}\cdot4=3. O ponto de interseção é (4,3). Note que \sqrt{4^{2}+3^{2}}=5, consistente com o raio 5.
  • O ângulo associado à reta é dado por \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{4}. Logo o ângulo limite superior é \theta=\arctan\!\left(\tfrac{3}{4}\right). O limite inferior, vindo de y=0 no primeiro quadrante, é \theta=0.
  • O raio r vai da origem até a circunferência r=5. Portanto os limites em polares são
0\le r\le 5,\qquad 0\le \theta\le \arctan\!\left(\tfrac{3}{4}\right).

Passo 4

Relembrando a transformação para coordenadas polares (mini-aula rapidinha e prática):
  • Relações entre cartesianas e polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Elemento de área em polares: quando fazemos a mudança de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta) o elemento de área dA transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Isto acontece porque pequenos retângulos em polares têm área aproximadamente (dr)\times (r\,d\theta), daí o fator r (jacobiano). Sempre lembrar: dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Escrever a integral em polares. O integrando é x, que vira r\cos\theta. Assim
\iint_{D} x\,dA = \int_{\theta=0}^{\arctan(3/4)}\int_{r=0}^{5} \big(r\cos\theta\big)\,(r\,dr\,d\theta).
Agrupando os fatores:
\iint_{D} x\,dA = \int_{0}^{\arctan(3/4)}\int_{0}^{5} r^{2}\cos\theta \,dr\,d\theta.
Note que \cos\theta não depende de r, então dá para separar as integrais.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo:
  • Integral em r:
\int_{0}^{5} r^{2}\,dr=\left[\tfrac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{5}=\tfrac{5^{3}}{3}=\tfrac{125}{3}.
  • Substituindo na integral em \theta:
\iint_{D} x\,dA = \tfrac{125}{3}\int_{0}^{\arctan(3/4)} \cos\theta\,d\theta.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{\arctan(3/4)} \cos\theta\,d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{\arctan(3/4)} = \sin\!\big(\arctan(3/4)\big)-0.
Agora calcular \sin\!\big(\arctan(3/4)\big): para \theta com \tan\theta=\tfrac{3}{4}, construir o triângulo retângulo com catetos 3 (oposto) e 4 (adjacente), hipotenusa 5. Logo
\sin\!\big(\arctan(3/4)\big)=\frac{3}{5}.
  • Portanto
\iint_{D} x\,dA = \tfrac{125}{3}\cdot \tfrac{3}{5}.
Fazer a simplificação:
\tfrac{125}{3}\cdot \tfrac{3}{5} = 125\cdot \tfrac{1}{5}=25.

Passo 7

Resumo e verificação rápida: o uso de coordenadas polares transformou a região em um retângulo nos parâmetros (r,\theta), o fator r do elemento de área foi incluído corretamente e a trigonometria do triângulo 3\!-\!4\!-\!5 simplificou a avaliação do seno. O resultado é um número simples e coerente.

Resposta

25

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