Determine os limites de integração de integral triplaE f(x, y, z) d V, em coordenadas esféricas:
E: sólido limitado por rho=cos phi e o hemisfério rho=2, z >= 0;

Passo 1

O exercício pede para escrever os limites de integração em coordenadas esféricas para o sólido E descrito. Em esféricas, temos as relações x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ senθ, z=ρ cosφ e o elemento de volume dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.

Passo 2

A superfície ρ=2 (z≥0) impõe a condição ρ≤2 e φ∈[0,π/2], pois z=ρ cosφ≥0.

Passo 3

A superfície ρ=cosφ é a esfera de raio 1/2 centrada em (0,0,1/2). O sólido E fica entre essa esfera interna e a semiesfera externa, logo ρ varia de cosφ até 2. Como E tem simetria completa em θ, θ percorre [0,2π]. Portanto os limites são: θ∈[0,2π], φ∈[0,π/2], ρ∈[cosφ,2].

Resposta

0<= theta<=2pi,0<= phi<=tfracpi2, cosphi<= rho<=2.

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