Determine os limites de integração de
, em coordenadas esféricas:
: sólido limitado por
e o hemisfério
;
Passo 1
O exercício pede para escrever os limites de integração em coordenadas esféricas para o sólido E descrito. Em esféricas, temos as relações x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ senθ, z=ρ cosφ e o elemento de volume dV=ρ² sinφ dρ dφ dθ.
Passo 2
A superfície ρ=2 (z≥0) impõe a condição ρ≤2 e φ∈[0,π/2], pois z=ρ cosφ≥0.
Passo 3
A superfície ρ=cosφ é a esfera de raio 1/2 centrada em (0,0,1/2). O sólido E fica entre essa esfera interna e a semiesfera externa, logo ρ varia de cosφ até 2. Como E tem simetria completa em θ, θ percorre [0,2π]. Portanto os limites são: θ∈[0,2π], φ∈[0,π/2], ρ∈[cosφ,2].