integral0^2 pi integral0^pi integral0^1 e^(rho^2)^32 rho^2 sin phi d rho d phi d theta

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral tripla em coordenadas esféricas
integral0^2piintegral0^piintegral0^1e^(rho^2)^3/2,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
O conteúdo aqui é integração em coordenadas esféricas, e vamos usar o jacobiano rho^2sinphi e propriedades de integrais iteradas.

Passo 2

Perceber que o expoente se simplifica pois (rho^2)^3/2=rho^3, logo a integral vira
integral0^2piintegral0^piintegral0^1e^rho^3,rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Separar a integral em produto de três integrais independentes em theta, phi e rho:
l(integral0^2pidthetar)l(integral0^pisinphi,dphir)l(integral0^1e^rho^3,rho^2,drhor)

Passo 4

Calcular as integrais angulares:
integral0^2pidtheta=2pi,integral0^pisinphi,dphi=2

Passo 5

Calcular a integral em rho usando substituição u=rho^3 (logo du=3rho^2drho e rho^2drho=du/3) e limites de 0 a 1:
integral0^1e^rho^3,rho^2,drho=integral0^1e^u,du3=13(e-1)

Passo 6

Multiplicar todos os resultados:
2pitimes2times13(e-1)=4pi3(e-1)

Resposta

4pi3(e-1)

Exercícios relacionados