Determine os limites:
lim (x, y) (0,0) f(x, y), onde
f(x, y)=cl x y^2x^2+y^4 ; & (x, y) neq(0,0) 0 ; & (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede para determinar o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y). A função é dada por:
(0, 0)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis, principalmente verificando se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de f(x, y)=cl x y^2x^2+y^4 ; & (x, y) neq(0,0) 0 ; & (x, y)=(0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x cdot 0^2x^2 + 0^4 = 0x^2 = 0
Portanto, o limite quando nos aproximamos de (0,0) pelo eixo x é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0 cdot y^20^2 + y^4 = 0y^4 = 0
Então, o limite quando nos aproximamos de (0,0) pelo eixo y também é 0.

Passo 4

Vamos agora considerar um caminho mais geral, por exemplo, a linha y = kx^alpha, onde k é uma constante e alpha é um expoente a ser determinado. Substituindo y = kx^alpha na função:
f(x, kx^alpha) = x cdot (k x^alpha)^2x^2 + (k x^alpha)^4 = x cdot k^2 x^2alphax^2 + k^4 x^4alpha
Simplificando:
f(x, kx^alpha) = k^2 x^1 + 2alphax^2 + k^4 x^4alpha
Para que o limite seja o mesmo que nos passos anteriores (zero), o denominador deve crescer suficientemente rápido para que a fração inteira tenda a zero. Vamos escolher alpha = 12:
f(x, kraizx) = k^2 x^1 + 2 cdot 12x^2 + k^4 x^4 cdot 12 = k^2 x^2x^2 + k^4 x^2 = k^2 x^2(1 + k^4) x^2 = k^21 + k^4
Nesse caso, o limite não depende de x e é igual a k^21 + k^4, que é diferente de zero para qualquer valor de k diferente de zero.

Passo 5

Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de (0,0), isso indica que o limite geral não existe. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo para todos os caminhos possíveis.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe.

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