Determine os limites:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver um limite de uma função de duas variáveis. O enunciado pede para determinar o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em várias variáveis, principalmente verificando se o limite é o mesmo quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Portanto, o limite quando nos aproximamos de
pelo eixo
é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Então, o limite quando nos aproximamos de
pelo eixo
também é 0.
Passo 4
Vamos agora considerar um caminho mais geral, por exemplo, a linha
, onde
é uma constante e
é um expoente a ser determinado. Substituindo
na função:
Simplificando:
Para que o limite seja o mesmo que nos passos anteriores (zero), o denominador deve crescer suficientemente rápido para que a fração inteira tenda a zero. Vamos escolher
:
Nesse caso, o limite não depende de
e é igual a
, que é diferente de zero para qualquer valor de
diferente de zero.
Passo 5
Como obtivemos limites diferentes dependendo do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, isso indica que o limite geral não existe. Se o limite existisse, ele teria que ser o mesmo para todos os caminhos possíveis.
Resposta
O limite
não existe.