Determine os limites:
\lim _{t \rightarrow 0^{+}}\left(\log (1-t), \sqrt{t}, \frac{1-\cos t}{t}\right).

Passo 1

O enunciado nos pede a tripla de limites
\lim_{t\to0^+}\log(1-t), \lim_{t\to0^+}\sqrt{t} e \lim_{t\to0^+}\frac{1-\cos t}{t}.
Para resolver usamos continuidade das funções elementares nos dois primeiros casos e expansão de Taylor (ou regra de l’Hôpital) no terceiro, que é uma forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Para \lim_{t\to0^+}\log(1-t), note que \log(1-t) é contínua em (0,1). Como
\lim_{t\to0^+}(1-t)=1,
segue-se por continuidade que
\lim_{t\to0^+}\log(1-t)=\log\bigl(\lim_{t\to0^+}(1-t)\bigr)=\log(1)=0.

Passo 3

Para \lim_{t\to0^+}\sqrt{t}, a função \sqrt{t} é contínua em [0,\infty). Logo
\lim_{t\to0^+}\sqrt{t}=\sqrt{\lim_{t\to0^+}t}=\sqrt{0}=0.

Passo 4

Para \lim_{t\to0^+}\frac{1-\cos t}{t} temos a forma indeterminada 0/0. Usando expansão de Taylor de \cos t em torno de 0:
\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2),
logo
1-\cos t = \frac{t^2}{2} + o(t^2),
e
\frac{1-\cos t}{t} = \frac{t^2/2 + o(t^2)}{t} = \frac{t}{2} + o(t) \,\xrightarrow[t\to0^+]{}\,0.

Resposta

(0,0,0)

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