Determine os limites:
\lim _{t \rightarrow 0}\left(\frac{e^{t}-1}{t},(1+t)^{5 / t}, \frac{t}{\sin (2 t)}\right).

Passo 1

O enunciado pede três limites quando t\to0:
\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t},
\displaystyle\lim_{t\to0}(1+t)^{5/t} e
\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin(2t)}.
O conteúdo é cálculo de limites usando expansão de Taylor e limites notórios.

Passo 2

Para o primeiro limite usamos a expansão de Taylor de e^{t} em torno de zero:
e^{t} = 1 + t + O(t^2).
Subtraindo 1 e dividindo por t
\frac{e^{t}-1}{t} = \frac{t + O(t^2)}{t} = 1 + O(t)\,\longrightarrow\,1.

Passo 3

Para o segundo limite lembramos do resultado clássico
\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e.
Aqui tomamos u=t, então
\lim_{t\to0}(1+t)^{5/t} =\Bigl(\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}\Bigr)^{5} =e^{5}.

Passo 4

Para o terceiro usamos que \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. Escrevemos
\frac{t}{\sin(2t)} =\frac{1}{2}\,\frac{2t}{\sin(2t)} \longrightarrow\frac{1}{2}\cdot1 =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle\left(1,\,e^{5},\,\frac{1}{2}\right)

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