Determine os limites:
\lim _{t \rightarrow 0}\left(t \sin \frac{1}{t}, 2 \cos t, 2+e^{\tan t}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t) = \bigl(t\sin\frac{1}{t},\;2\cos t,\;2+e^{\tan t}\bigr)
e pede \lim_{t\to0}F(t). Vamos usar que o limite de uma função vetorial é obtido componente a componente e empregar propriedades de limites e continuidade.

Passo 2

Para a primeira componente, f_1(t)=t\sin\frac{1}{t}. Como \sin x é sempre limitado por -1 e 1, temos
-\,|t|\le t\sin\frac{1}{t}\le |t|.
Como \lim_{t\to0}|t|=0, pelo Teorema do Confronto segue
\lim_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.

Passo 3

Para a segunda componente, f_2(t)=2\cos t. A função \cos t é contínua em t=0, logo
\lim_{t\to0}2\cos t = 2\cos(0) = 2\cdot1 = 2.

Passo 4

Para a terceira componente, f_3(t)=2+e^{\tan t}. A composição de funções contínuas ( \tan t em 0 e e^x) é contínua, então
\lim_{t\to0}e^{\tan t} = e^{\tan(0)} = e^0 = 1
e, somando 2,
\lim_{t\to0}\bigl(2+e^{\tan t}\bigr)=2+1=3.

Resposta

(0,\,2,\,3)

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