Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow-1 / 2^{-}} \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral à esquerda de \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}
quando x \to -\tfrac12^{-}. Esse cálculo envolve análise de domínio e continuidade de uma função que é raiz quadrada de um quociente.

Passo 2

Para que \sqrt{\frac{x+2}{x+1}}
esteja definida, o radicando deve satisfazer
\frac{x+2}{x+1}\ge0.
As raízes do numerador e do denominador são x=-2 e x=-1. Analisando o sinal de \frac{x+2}{x+1}:
  • para x<-2: numerador e denominador são negativos, logo quociente positivo;
  • para -2<x<-1: numerador positivo e denominador negativo, quociente negativo;
  • para x>-1: numerador e denominador positivos, quociente positivo.
    Portanto, o domínio é
(-\infty,-2]\;\cup\;(-1,\infty).
O ponto -\tfrac12 pertence ao intervalo (-1,\infty), onde a função é contínua.

Passo 3

Como a função é contínua em x=-\tfrac12, o limite lateral pela esquerda coincide com o valor da função nesse ponto. Basta substituir x=-\tfrac12:
\sqrt{\frac{(-\tfrac12)+2}{(-\tfrac12)+1}} =\sqrt{\frac{\tfrac32}{\tfrac12}} =\sqrt{3}.

Resposta

\sqrt{3}

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