Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2+x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2+x}.
Informações relevantes que temos:
  • A função no numerador é x\mapsto \sqrt{4-x^{2}}.
  • A função no denominador é x\mapsto 2+x.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • Precisamos verificar se a expressão está bem definida próxima de x=1 e depois calcular o valor do limite.

Passo 2

Verificação de domínio perto de x=1: a raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, isto é, precisamos de 4-x^{2}\ge 0. Em particular, para x=1 temos
4-1^{2}=3\ge 0,
logo o numerador está definido em x=1 e em um entorno de x=1. O denominador em x=1 vale 2+1=3, que é diferente de zero, então não há divisão por zero no ponto. Portanto a expressão está bem definida numa vizinhança de x=1.

Passo 3

Regra de continuidade que usamos (explicação didática): polinômios e somas de polinômios são funções contínuas; a função raiz quadrada t\mapsto \sqrt{t} é contínua no intervalo [0,\infty). A composição de funções contínuas é contínua. Assim, se o argumento da raiz tende a um valor não negativo, então a raiz do argumento tende à raiz desse valor. De forma prática, se \lim_{x\to a} h(x)=L e g é contínua em L, então \lim_{x\to a} g(h(x))=g(L).
Aplicando isso ao numerador: primeiro calculemos o limite do argumento da raiz:
\lim_{x\to 1} (4-x^{2}) = 4-1^{2}=3.
Como 3\ge 0 e a raiz é contínua em 3, temos
\lim_{x\to 1} \sqrt{4-x^{2}} = \sqrt{\lim_{x\to 1} (4-x^{2})} = \sqrt{3}.

Passo 4

Calculemos o limite do denominador; sendo 2+x um polinômio (função contínua), podemos substituir diretamente:
\lim_{x\to 1} (2+x) = 2+1 = 3.
Observe que o limite do denominador é diferente de zero, condição necessária para que o limite do quociente seja o quociente dos limites.

Passo 5

Regra do quociente (explicação didática): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.
Aqui aplicamos essa regra com f(x)=\sqrt{4-x^{2}} e g(x)=2+x. Como achamos \lim_{x\to 1} f(x)=\sqrt{3} e \lim_{x\to 1} g(x)=3 e 3\neq 0, segue que
\lim_{x\to 1} \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2+x} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Interpretação rápida: como as funções envolvidas são contínuas no ponto considerado e o denominador não zera, podemos simplesmente substituir x=1 na expressão. O resultado é um número explícito, \dfrac{\sqrt{3}}{3}, que é aproximadamente 0{,}577 se você quiser uma ideia numérica.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}

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