Determine os limites:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações relevantes que temos:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
. - Precisamos verificar se a expressão está bem definida próxima de
e depois calcular o valor do limite.
Passo 2
Verificação de domínio perto de
: a raiz quadrada exige que o argumento seja não negativo, isto é, precisamos de
. Em particular, para
temos
logo o numerador está definido em
e em um entorno de
. O denominador em
vale
, que é diferente de zero, então não há divisão por zero no ponto. Portanto a expressão está bem definida numa vizinhança de
.
Passo 3
Regra de continuidade que usamos (explicação didática): polinômios e somas de polinômios são funções contínuas; a função raiz quadrada
é contínua no intervalo
. A composição de funções contínuas é contínua. Assim, se o argumento da raiz tende a um valor não negativo, então a raiz do argumento tende à raiz desse valor. De forma prática, se
e
é contínua em
, então
.
Aplicando isso ao numerador: primeiro calculemos o limite do argumento da raiz:
Como
e a raiz é contínua em
, temos
Passo 4
Calculemos o limite do denominador; sendo
um polinômio (função contínua), podemos substituir diretamente:
Observe que o limite do denominador é diferente de zero, condição necessária para que o limite do quociente seja o quociente dos limites.
Passo 5
Regra do quociente (explicação didática): se
e
com
, então
Aqui aplicamos essa regra com
e
. Como achamos
e
e
, segue que
Passo 6
Interpretação rápida: como as funções envolvidas são contínuas no ponto considerado e o denominador não zera, podemos simplesmente substituir
na expressão. O resultado é um número explícito,
, que é aproximadamente
se você quiser uma ideia numérica.