Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{3 x^{3}-2 x^{2}-4 x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -1} \frac{3x^{3}-2x^{2}-4x+1}{x-1}.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão é uma fração cujo numerador é o polinômio 3x^{3}-2x^{2}-4x+1.
  • O denominador é x-1.
  • O ponto de interesse é x\to -1.
  • Não há indicação de comportamento indeterminado no enunciado; temos que verificar se a substituição direta dá algum problema (como divisão por zero).

Passo 2

Primeiro passo prático: avaliar o denominador em x=-1 para ver se a função está bem definida ali (isso indica se podemos simplesmente substituir).
Calculemos x-1 em x=-1:
(-1)-1 = -2.
Como o denominador em x=-1 é -2, que é diferente de zero, não há divisão por zero.

Passo 3

Explicação teórica (didática e curta): polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. O quociente de duas funções contínuas é contínuo num ponto onde o denominador não é zero. Portanto, se o denominador em x=-1 não é zero, a expressão inteira é contínua em x=-1 e o limite quando x\to -1 é simplesmente o valor da função em x=-1, ou seja, podemos substituir x=-1 diretamente na expressão.
Dica para a prova: sempre verifique primeiro se o denominador zera no ponto. Se não zerar, substituição direta salva tempo. Se zerar, aí temos que fatorar, simplificar ou usar l’Hôpital (quando aplicável).

Passo 4

Agora substituímos x=-1 no numerador com calma, passo a passo, para evitar errar sinais:
Calcule cada termo do numerador em x=-1:
(-1)^{3} = -1 \quad\Rightarrow\quad 3(-1)^{3} = 3\cdot(-1) = -3,
(-1)^{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad -2(-1)^{2} = -2\cdot 1 = -2,
-4x \text{ em } x=-1 \Rightarrow -4\cdot(-1)=+4,
e o termo constante é +1.
Somando tudo:
-3 + (-2) + 4 + 1.

Passo 5

Somando os valores do numerador:
-3 -2 +4 +1 = (-3-2) + (4+1) = -5 + 5 = 0.
Portanto o numerador em x=-1 é 0, e o denominador já calculamos que é -2. Assim a fração vale
\frac{0}{-2} = 0.

Resposta

0

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