Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+4 x+3}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -3} \frac{x^{2}+4x+3}{x+3}.
Informações dadas: a expressão é a razão entre o polinômio x^{2}+4x+3 e o polinômio x+3. Observação importante: a expressão original não está definida em x=-3 porque o denominador fica zero. A pergunta é: qual é o valor do limite quando x se aproxima de -3?

Passo 2

Tentar substituir diretamente x=-3 para ver se o limite é obtido por substituição direta. Calculamos o numerador e o denominador em x=-3:
(-3)^{2}+4(-3)+3 = 9-12+3 = 0,
(-3)+3 = 0.
Logo obtemos a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.

Passo 3

Uma técnica padrão para tratar indeterminações 0/0 envolvendo polinômios é fatorar. Vou explicar como fatorar x^{2}+4x+3 passo a passo, como se fosse feita sem calculadora:
Procuramos dois números que multiplicados deem 3 (termo constante) e somados deem 4 (coeficiente de x). Esses números são 1 e 3, pois 1\cdot 3=3 e 1+3=4. Portanto:
x^{2}+4x+3 = (x+1)(x+3).
Fatoramos o numerador com essa observação.

Passo 4

Substituímos a fatoração na expressão do limite:
\frac{x^{2}+4x+3}{x+3} = \frac{(x+1)(x+3)}{x+3}.
Para todo x\neq -3, o fator (x+3) no numerador e no denominador pode ser cancelado, pois cancelamento é válido quando não estamos no ponto que torna o denominador zero. Isso resulta na função equivalente (para x\neq -3):
\frac{(x+1)(x+3)}{x+3} = x+1 \qquad (x\neq -3).
É importante entender: o limite quando x\to -3 depende apenas do comportamento da função arbitrariamente próximo de -3, não do valor da função exatamente em -3. Assim, podemos estudar o limite usando a função simplificada x+1.

Passo 5

A função x+1 é contínua em todo ponto (soma de termos polinomiais). Para funções contínuas, o limite quando x se aproxima de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto, o limite procurado é igual ao valor de x+1 em x=-3. Fazendo a substituição:
(-3)+1 = -2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados