Determine os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas: a expressão é a razão entre o polinômio
e o polinômio
. Observação importante: a expressão original não está definida em
porque o denominador fica zero. A pergunta é: qual é o valor do limite quando
se aproxima de
?
Passo 2
Tentar substituir diretamente
para ver se o limite é obtido por substituição direta. Calculamos o numerador e o denominador em
:
Logo obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por simples substituição; é preciso manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação.
Passo 3
Uma técnica padrão para tratar indeterminações
envolvendo polinômios é fatorar. Vou explicar como fatorar
passo a passo, como se fosse feita sem calculadora:
Procuramos dois números que multiplicados deem (termo constante) e somados deem
(coeficiente de
). Esses números são
e
, pois
e
. Portanto:
Procuramos dois números que multiplicados deem
Fatoramos o numerador com essa observação.
Passo 4
Substituímos a fatoração na expressão do limite:
Para todo
, o fator
no numerador e no denominador pode ser cancelado, pois cancelamento é válido quando não estamos no ponto que torna o denominador zero. Isso resulta na função equivalente (para
):
É importante entender: o limite quando
depende apenas do comportamento da função arbitrariamente próximo de
, não do valor da função exatamente em
. Assim, podemos estudar o limite usando a função simplificada
.
Passo 5
A função
é contínua em todo ponto (soma de termos polinomiais). Para funções contínuas, o limite quando
se aproxima de um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Portanto, o limite procurado é igual ao valor de
em
. Fazendo a substituição: