Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \sqrt[3]{\frac{27 x^{3}+4 x-4}{x^{10}+4 x^{2}+3 x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do limite
\lim_{x\to 1} \sqrt[3]{\frac{27x^{3}+4x-4}{x^{10}+4x^{2}+3x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro da raiz cúbica é \dfrac{27x^{3}+4x-4}{x^{10}+4x^{2}+3x}.
  • O ponto onde tomamos o limite é x\to 1.
  • A raiz cúbica externa é a função \sqrt[3]{\cdot}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade-chave sobre limites que vamos usar (aqui eu explico como se fosse na prova, devagarinho): se uma função h é contínua em um ponto a e \lim_{x\to a} g(x)=L, então
\lim_{x\to a} h\bigl(g(x)\bigr)=h(L).
Isto significa que, quando h é contínua, podemos “levar a limite para dentro” da função h. A raiz cúbica \sqrt[3]{\cdot} é contínua em todo \mathbb{R} (não tem problema com sinais ou zeros), então poderemos aplicar essa propriedade se conseguirmos achar \lim_{x\to1} da fração interna. Outro fato útil: polinômios são contínuos em todo lugar, e a razão de dois polinômios é contínua num ponto onde o polinômio do denominador não é zero. Portanto, se o denominador avaliado em x=1 for diferente de zero, podemos calcular a limite da fração apenas substituindo x=1.

Passo 3

Calculemos o numerador e o denominador no ponto x=1 substituindo passo a passo.
Numerador:
27x^{3}+4x-4 \quad\text{em}\quad x=1
27\cdot 1^{3}+4\cdot 1-4 = 27+4-4 = 27.
Denominador:
x^{10}+4x^{2}+3x \quad\text{em}\quad x=1
1^{10}+4\cdot 1^{2}+3\cdot 1 = 1+4+3 = 8.
Observação importante: o denominador em x=1 é \,8\neq 0. Isso garante que a fração não é uma indeterminação do tipo \frac{0}{0} e que a razão de polinômios é contínua em x=1.

Passo 4

Pelo que vimos (polinômios contínuos e denominador não nulo), a limite da fração é simplesmente a fração dos valores:
\lim_{x\to 1}\frac{27x^{3}+4x-4}{x^{10}+4x^{2}+3x} = \frac{27}{8}.
Expliquei antes: isso é permitido porque tanto numerador quanto denominador têm limites iguais aos seus valores em 1, e o denominador em 1 não é zero.

Passo 5

Agora aplicamos a continuidade da função raiz cúbica. Como \sqrt[3]{\cdot} é contínua em \mathbb{R}, temos
\lim_{x\to 1} \sqrt[3]{\frac{27x^{3}+4x-4}{x^{10}+4x^{2}+3x}} = \sqrt[3]{\lim_{x\to 1}\frac{27x^{3}+4x-4}{x^{10}+4x^{2}+3x}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}}.
Agora simplificamos a raiz cúbica de uma fração. A propriedade \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} vale para b\neq 0. Então
\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}.
Sabemos que \sqrt[3]{27}=3 porque 3^{3}=27, e que \sqrt[3]{8}=2 porque 2^{3}=8. Portanto
\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio que você deve aplicar na prova (pegar o método):
  • Verifique se a substituição direta gera indeterminação. Se não gerar e as funções envolvidas são contínuas, substitua.
  • Polinômios são contínuos; razão de polinômios é contínua quando o denominador no ponto não é zero.
  • Funções elementares contínuas (como raiz cúbica) permitem levar o limite para dentro.
  • Faça a substituição, simplifique a expressão e avalie o resultado (aqui deu uma fração cujo terceiro radical é imediato).
Vai dar certo — você só precisa reconhecer que não há indeterminação e aplicar continuidade.

Resposta

\dfrac{3}{2}

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