Determine os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro da raiz cúbica é
. - O ponto onde tomamos o limite é
. - A raiz cúbica externa é a função
.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade-chave sobre limites que vamos usar (aqui eu explico como se fosse na prova, devagarinho): se uma função
é contínua em um ponto
e
, então
Isto significa que, quando
é contínua, podemos “levar a limite para dentro” da função
. A raiz cúbica
é contínua em todo
(não tem problema com sinais ou zeros), então poderemos aplicar essa propriedade se conseguirmos achar
da fração interna. Outro fato útil: polinômios são contínuos em todo lugar, e a razão de dois polinômios é contínua num ponto onde o polinômio do denominador não é zero. Portanto, se o denominador avaliado em
for diferente de zero, podemos calcular a limite da fração apenas substituindo
.
Passo 3
Calculemos o numerador e o denominador no ponto
substituindo passo a passo.
Numerador:
Denominador:
Observação importante: o denominador em
é
. Isso garante que a fração não é uma indeterminação do tipo
e que a razão de polinômios é contínua em
.
Passo 4
Pelo que vimos (polinômios contínuos e denominador não nulo), a limite da fração é simplesmente a fração dos valores:
Expliquei antes: isso é permitido porque tanto numerador quanto denominador têm limites iguais aos seus valores em
, e o denominador em
não é zero.
Passo 5
Agora aplicamos a continuidade da função raiz cúbica. Como
é contínua em
, temos
Agora simplificamos a raiz cúbica de uma fração. A propriedade
vale para
. Então
Sabemos que
porque
, e que
porque
. Portanto
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio que você deve aplicar na prova (pegar o método):
- Verifique se a substituição direta gera indeterminação. Se não gerar e as funções envolvidas são contínuas, substitua.
- Polinômios são contínuos; razão de polinômios é contínua quando o denominador no ponto não é zero.
- Funções elementares contínuas (como raiz cúbica) permitem levar o limite para dentro.
- Faça a substituição, simplifique a expressão e avalie o resultado (aqui deu uma fração cujo terceiro radical é imediato).
Vai dar certo — você só precisa reconhecer que não há indeterminação e aplicar continuidade.