Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{x^{2}+1}{1+\sqrt{2 x+8}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 1/2} \frac{x^{2}+1}{1+\sqrt{2x+8}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{1+\sqrt{2x+8}}.
  • O ponto de interesse é x\to \tfrac{1}{2}.
  • Não há nenhuma outra condição explícita no enunciado.

Passo 2

Vamos checar onde a expressão está bem definida (domínio) e se podemos usar substituição direta. Componentes da função:
  • x^{2}+1 é um polinômio, definido e contínuo para todo x.
  • \sqrt{2x+8} exige que o argumento 2x+8 seja \ge 0. Note que para x=\tfrac{1}{2},
2\cdot\frac{1}{2}+8 = 1+8 = 9 \ge 0,
então a raiz está bem definida nesse ponto.
  • O denominador é 1+\sqrt{2x+8}. Precisamos garantir que ele não seja zero em x=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Verificação do denominador em x=\tfrac{1}{2}:
1+\sqrt{2\cdot\frac{1}{2}+8} = 1+\sqrt{9} = 1+3 = 4 \neq 0.
Como o denominador é diferente de zero, não há problema de divisão por zero.

Passo 4

Como soma, produto, quociente (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são contínuas, e tanto x^{2}+1 quanto \sqrt{2x+8} são contínuas em x=\tfrac{1}{2}, podemos calcular o limite por substituição direta. Isso significa avaliar numerador e denominador no ponto limite.

Passo 5

Avaliação do numerador em x=\tfrac{1}{2}:
\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+1 = \frac{1}{4}+1 = \frac{5}{4}.
Avaliação do denominador em x=\tfrac{1}{2} (já feito no Passo 3):
1+\sqrt{2\cdot\frac{1}{2}+8} = 4.

Passo 6

Dividindo os valores obtidos:
\frac{\frac{5}{4}}{4} = \frac{5}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{5}{16}.
Portanto o limite existe e é igual a \tfrac{5}{16}.

Resposta

\dfrac{5}{16}

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