Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2-x^{2}}{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor do limite
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2-x^{2}}{4x}.
Informações dadas:
\,x tende a \,2.
A função considerada é \displaystyle \frac{2-x^{2}}{4x}.
Não há outras condições explícitas (por exemplo, não foi informado que x está restrito a algum conjunto). O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de \,2.

Passo 2

Ideia matemática que vamos usar (explicada com calma):
Quando temos um quociente de funções \frac{g(x)}{h(x)} e ambas as funções g e h são bem-comportadas (contínuas) no ponto a e h(a)\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}.
O que significa “contínua” aqui, de forma bem direta: uma função é contínua em a se, ao aproximarmos x de a, os valores da função se aproximam do valor da função em a. Polinômios e funções do tipo 4x são contínuos em todo ponto real. Portanto, para a função racional \frac{2-x^{2}}{4x}, desde que o denominador em x=2 não seja zero, podemos simplesmente substituir x=2 na expressão para obter o limite. Vou aplicar exatamente isso: verificar o denominador em x=2 (se é diferente de zero) e então substituir.

Passo 3

Verificação do denominador em x=2:
4x\big|_{x=2}=4\cdot 2=8\neq 0.
Como o denominador é diferente de zero, a condição para substituição direta está atendida.

Passo 4

Substituição direta: calcular numerador e denominador em x=2.
Numerador:
2-x^{2}\big|_{x=2}=2-(2)^{2}=2-4=-2.
Denominador (já calculado):
4x\big|_{x=2}=8.
Portanto a fração ao aproximar x de 2 é
\frac{2-x^{2}}{4x}\bigg|_{x=2}=\frac{-2}{8}.

Passo 5

Simplificação da fração \displaystyle \frac{-2}{8}:
Dividimos numerador e denominador por 2:
\frac{-2}{8}=\frac{-2\div 2}{8\div 2}=\frac{-1}{4}.
Interpretação final: o limite existe e vale -\tfrac{1}{4}.

Resposta

-\frac{1}{4}

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