Determine os limites:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão a ser limitada é o quociente de dois polinômios: o numerador
e o denominador . - O ponto de interesse é
. - A pergunta concreta é: qual é o valor desse limite quando
se aproxima de ?
Passo 2
Vamos avaliar separadamente numerador e denominador em
(isso nos diz se há uma indeterminação):
- Para o numerador:
Calcule passo a passo:
. Multiplicando por
obtemos
. Finalmente
. Logo o numerador vale
em
.
Passo 3
Agora o denominador em
:
Calcule:
. Então
. Logo o denominador vale
em
, ou seja, é diferente de zero.
Passo 4
Interpretação: como o numerador avaliado no ponto dá
e o denominador dá
, não temos uma indeterminação do tipo
. Para funções racionais (quociente de polinômios), quando o denominador no ponto limite é diferente de zero, a função é contínua naquele ponto e o limite é simplesmente o valor da função no ponto.
Passo 5
Aplicando o raciocínio da continuidade, o limite é
Como verificação alternativa (didática), fatorando o numerador vemos que ele é uma diferença de quadrados:
Em
o fator
zera, então o numerador zera; o denominador
não é proporcional a
, logo não há cancelamento que gere indeterminação — confirma que o quociente tende a
.