Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow 5 / 2} \frac{4 x^{2}-25}{2 x-3}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to \frac{5}{2}} \frac{4x^{2}-25}{2x-3}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão a ser limitada é o quociente de dois polinômios: o numerador 4x^{2}-25 e o denominador 2x-3.
  • O ponto de interesse é x=\frac{5}{2}.
  • A pergunta concreta é: qual é o valor desse limite quando x se aproxima de \frac{5}{2}?

Passo 2

Vamos avaliar separadamente numerador e denominador em x=\frac{5}{2} (isso nos diz se há uma indeterminação):
  • Para o numerador:
4\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-25.
Calcule passo a passo: \left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}. Multiplicando por 4 obtemos 4\cdot\frac{25}{4}=25. Finalmente 25-25=0. Logo o numerador vale 0 em x=\frac{5}{2}.

Passo 3

Agora o denominador em x=\frac{5}{2}:
2\cdot\frac{5}{2}-3.
Calcule: 2\cdot\frac{5}{2}=5. Então 5-3=2. Logo o denominador vale 2 em x=\frac{5}{2}, ou seja, é diferente de zero.

Passo 4

Interpretação: como o numerador avaliado no ponto dá 0 e o denominador dá 2\neq 0, não temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para funções racionais (quociente de polinômios), quando o denominador no ponto limite é diferente de zero, a função é contínua naquele ponto e o limite é simplesmente o valor da função no ponto.

Passo 5

Aplicando o raciocínio da continuidade, o limite é
\frac{0}{2}=0.
Como verificação alternativa (didática), fatorando o numerador vemos que ele é uma diferença de quadrados:
4x^{2}-25=(2x-5)(2x+5).
Em x=\frac{5}{2} o fator (2x-5) zera, então o numerador zera; o denominador (2x-3) não é proporcional a (2x-5), logo não há cancelamento que gere indeterminação — confirma que o quociente tende a 0.

Resposta

0

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