Determine os limites:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas e o que isso significa:
- A expressão a avaliar é
. - O ponto de interesse é
, com aproximação pela direita (isto é, aproxima-se de por valores maiores que ). - Precisamos encontrar o valor numérico para o qual a expressão tende quando
se aproxima de vindos da direita.
Passo 2
Tentar substituição direta é sempre um bom começo quando temos funções racionais (quociente de polinômios). Vou calcular o numerador e o denominador em
:
Calcule o numerador em
:
Calcule o denominador em
:
Como o numerador tende a
e o denominador tende a um número diferente de zero (
), o quociente tende a
. Explicando a regra usada: se uma função é uma razão de polinômios e o denominador no ponto é diferente de zero, a função é contínua nesse ponto e o limite é simplesmente o valor obtido pela substituição direta.
Passo 3
Para reforçar e mostrar outra abordagem (útil em provas), vou fatorar o numerador e simplificar a expressão antes de tomar o limite.
Fatorando o numerador:
Substituindo na expressão:
Observe que
. Então
desde que
(a simplificação usa cancelamento de
). No nosso caso estamos aproximando
de
, então
e a simplificação é válida na vizinhança de
.
Passo 4
Agora calcule o limite da forma simplificada:
Comentário sobre sinal: para
ligeiramente maior que
,
é pequeno e positivo, então
é pequeno e negativo; a função aproxima-se de
pela esquerda. Mas o limite numérico é
.