Determine os limites:
\lim _{x \rightarrow-3^{+}} \frac{x^{2}-9}{3-x}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to -3^{+}} \frac{x^{2}-9}{3-x}.
Informações dadas e o que isso significa:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{x^{2}-9}{3-x}.
  • O ponto de interesse é x=-3, com aproximação pela direita (isto é, x aproxima-se de -3 por valores maiores que -3).
  • Precisamos encontrar o valor numérico para o qual a expressão tende quando x se aproxima de -3 vindos da direita.

Passo 2

Tentar substituição direta é sempre um bom começo quando temos funções racionais (quociente de polinômios). Vou calcular o numerador e o denominador em x=-3:
Calcule o numerador em x=-3:
(-3)^{2}-9 = 9-9 = 0.
Calcule o denominador em x=-3:
3-(-3)=3+3=6 \neq 0.
Como o numerador tende a 0 e o denominador tende a um número diferente de zero ( 6), o quociente tende a 0. Explicando a regra usada: se uma função é uma razão de polinômios e o denominador no ponto é diferente de zero, a função é contínua nesse ponto e o limite é simplesmente o valor obtido pela substituição direta.

Passo 3

Para reforçar e mostrar outra abordagem (útil em provas), vou fatorar o numerador e simplificar a expressão antes de tomar o limite.
Fatorando o numerador:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Substituindo na expressão:
\frac{x^{2}-9}{3-x}=\frac{(x-3)(x+3)}{3-x}.
Observe que 3-x=-(x-3). Então
\frac{(x-3)(x+3)}{3-x}=\frac{(x-3)(x+3)}{-(x-3)}=-(x+3),
desde que x\neq 3 (a simplificação usa cancelamento de x-3). No nosso caso estamos aproximando x de -3, então x\neq 3 e a simplificação é válida na vizinhança de -3.

Passo 4

Agora calcule o limite da forma simplificada:
\lim_{x\to -3^{+}} -(x+3) = -\bigl((-3)+3\bigr) = -0 = 0.
Comentário sobre sinal: para x ligeiramente maior que -3, x+3 é pequeno e positivo, então -(x+3) é pequeno e negativo; a função aproxima-se de 0 pela esquerda. Mas o limite numérico é 0.

Resposta

0

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