Determine os limites: \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{3 x^{2}-x^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a 2:
\lim_{x\to 2} \frac{x-2}{3x^{2}-x^{3}}.
Informações importantes fornecidas:
O numerador é a expressão (x-2).
O denominador é a expressão 3x^{2}-x^{3}.
Queremos o valor do quociente dessas duas expressões quando x se aproxima de 2.
Passo 2
Calculemos primeiro o limite do numerador isoladamente:
\lim_{x\to 2} (x-2).
Explicação didática: a expressão x-2 é um polinômio (ou função polinomial) que é contínuo em todo lugar, isto é, o limite ao aproximar-se de um ponto é simplesmente o valor obtido pela substituição direta. Então substituindo x=2 obtemos
\lim_{x\to 2} (x-2)=2-2=0.
Passo 3
Agora calculemos o limite do denominador isoladamente:
\lim_{x\to 2} \bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr).
Uma boa prática é fatorar para ver facilmente o comportamento em x=2. Observe que
3x^{2}-x^{3}=x^{2}(3-x).
Substituindo x=2 na expressão fatorada:
x^{2}(3-x)\big|_{x=2}=2^{2}\cdot(3-2)=4\cdot 1=4.
Portanto
\lim_{x\to 2} \bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr)=4.
Comentário didático: conseguimos um limite diferente de zero para o denominador, o que é essencial para aplicar a regra do quociente de limites.
Passo 4
Relembrando uma regra útil de limites (explicada passo a passo): se f(x) e g(x) têm limites finitos quando x\to a, digamos \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, e se M\neq 0, então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.
Intuição simples: quando o denominador tende para um número não nulo, o comportamento do quociente é controlado pelo comportamento dos dois limites separados; não há indeterminação.
Breve exemplo adicional para fixar a ideia: se tivéssemos \lim_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x^{2}+1}, calcularíamos separadamente \lim_{x\to 1}(x-1)=0 e \lim_{x\to 1}(x^{2}+1)=2\neq 0, e então o limite seria \dfrac{0}{2}. Isso mostra como é comum obter zero quando o numerador tende a zero mas o denominador tende a um número não nulo.