Demonstre que cada uma das igualdades abaixo é identidade no respectivo universo U.
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{cossec} x}+\frac{\operatorname{cossec} x}{\operatorname{sec} x}=\operatorname{tg} x+\operatorname{cotg} x, em U=\{x \in \mathbb{R} \mid \operatorname{sen} x \neq 0 e \cos x \neq 0\}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \displaystyle U = \{x\in\mathbb{R}\mid \sin x\neq0\text{ e }\cos x\neq0\},
vale a identidade
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{cossec}x} \;+\;\frac{\operatorname{cossec}x}{\operatorname{sec} x} =\operatorname{tg}x+\operatorname{cotg}x.
Vamos usar as definições trigonométricas \displaystyle \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}, \displaystyle \operatorname{cossec}x = \frac{1}{\sin x}, \displaystyle \operatorname{tg}x = \frac{\sin x}{\cos x} e \displaystyle \operatorname{cotg}x = \frac{\cos x}{\sin x}.

Passo 2

Calculemos a primeira fração usando as definições:
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{cossec}x} = \frac{\tfrac{1}{\cos x}}{\tfrac{1}{\sin x}} = \frac{1}{\cos x}\;\cdot\;\frac{\sin x}{1} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg}x.

Passo 3

De modo análogo, simplificamos a segunda fração:
\frac{\operatorname{cossec}x}{\operatorname{sec} x} = \frac{\tfrac{1}{\sin x}}{\tfrac{1}{\cos x}} = \frac{1}{\sin x}\;\cdot\;\frac{\cos x}{1} = \frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{cotg}x.

Passo 4

Somando os dois resultados, obtemos
\frac{\operatorname{sec} x}{\operatorname{cossec}x} +\frac{\operatorname{cossec}x}{\operatorname{sec} x} = \operatorname{tg}x + \operatorname{cotg}x,
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

A igualdade é verdadeira em todo U.

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