Determine as seguintes derivadas:
, em que
Passo 1
Estamos lidando com derivadas de uma função da forma quociente, ou seja, queremos
para (f(x)=\dfrac{4x - x4}{(x3+2)^{2024}}. O conteúdo principal aqui é regra do produto (após reescrever o quociente) e regra da cadeia para derivar potências compostas.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
como um produto para facilitar a derivação: definimos
e
. Assim,
.
Calculamos as derivadas de cada parte:
– Para , temos
Calculamos as derivadas de cada parte:
– Para
Passo 3
– Para
, aplicamos regra da cadeia: o expoente cai e multiplicamos pela derivada de
. Logo,
Passo 4
Agora usamos a regra do produto:
Passo 5
Substituindo
obtemos
Passo 6
Fatoramos
em evidência:
Passo 7
Expandindo e simplificando o colchete:
– .
– .
Somando:
–
–
Somando:
Passo 8
Fatorando
desse resultado:
Passo 9
Portanto chegamos à forma final da derivada.