Determine as seguintes derivadas:
f^prime(x), em que f(x)=4 x-x^4(x^3+2)^2024

Passo 1

Estamos lidando com derivadas de uma função da forma quociente, ou seja, queremos f'(x) para (f(x)=\dfrac{4x - x4}{(x3+2)^{2024}}. O conteúdo principal aqui é regra do produto (após reescrever o quociente) e regra da cadeia para derivar potências compostas.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) como um produto para facilitar a derivação: definimos u(x)=4x - x^4 e v(x)=(x^3+2)^-2024. Assim, f(x)=u(x),v(x).
Calculamos as derivadas de cada parte:
– Para u(x)=4x - x^4, temos
u'(x)=4 - 4x^3

Passo 3

– Para v(x)=(x^3+2)^-2024, aplicamos regra da cadeia: o expoente cai e multiplicamos pela derivada de x^3+2. Logo,
v'(x)=-2024,(x^3+2)^-2025cdot3x^2 = -6072,x^2,(x^3+2)^-2025

Passo 4

Agora usamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

Passo 5

Substituindo u, u', v, v' obtemos
f'(x)=(4 - 4x^3)(x^3+2)^-2024 + (4x - x^4)(-6072,x^2,(x^3+2)^-2025)

Passo 6

Fatoramos (x^3+2)^-2025 em evidência:
f'(x)=(x^3+2)^-2025l[(4 - 4x^3)(x^3+2) - 6072,x^2(4x - x^4)r]

Passo 7

Expandindo e simplificando o colchete:
(4 - 4x^3)(x^3+2) = -4x^6 -4x^3 +8.
6072,x^2(4x - x^4) = 24288x^3 - 6072x^6.
Somando:
-4x^6 -4x^3 +8 - (24288x^3 -6072x^6) = 6068x^6 -24292x^3 +8

Passo 8

Fatorando 4 desse resultado:
6068x^6 -24292x^3 +8 = 4(1517x^6 -6073x^3 +2)

Passo 9

Portanto chegamos à forma final da derivada.

Resposta

f'(x)=4l(1517x^6 -6073x^3 +2r)(x^3+2)^2025

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