Determine os limites, se possível:
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,3)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(3,3)} \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma função de duas variáveis (x,y).
  • Quando (x,y)\to(3,3) temos x\to3 e y\to3, logo o numerador tende a \,3-3=0 e o denominador tende a \sqrt{3}-\sqrt{3}=0. Portanto a forma é indeterminada do tipo 0/0.
  • A raiz quadrada exige x\ge0 e y\ge0; como estamos aproximando de 3>0, isso não é um problema.
  • A expressão original está indefinida quando \sqrt{x}-\sqrt{y}=0 (isto é, quando x=y), mas limites consideram valores próximos ao ponto, não necessariamente o valor no ponto.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): quando aparece uma diferença de raízes no denominador é clássico usar a identidade da diferença de quadrados ou multiplicar pelo conjugado. A identidade é
a^2-b^2=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer números (ou expressões). Aqui vamos aplicar essa identidade com a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y}. Isso nos permite eliminar a diferença \sqrt{x}-\sqrt{y} no denominador por cancelamento algébrico, transformando a expressão indeterminada em algo mais simples e contínuo, que podemos avaliar por substituição.

Passo 3

Aplicando a identidade com a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y} temos
x-y=(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Então, para pontos com x\neq y (onde o quociente está bem definido), podemos simplificar:
\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.
Observação importante: a simplificação foi feita apenas onde \sqrt{x}-\sqrt{y}\neq0. Mas o limite considera valores próximos a (3,3) com x\neq y, então podemos usar o valor da função simplificada para estudar o limite.

Passo 4

Agora trabalhamos com a função simplificada
g(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}.
As funções x\mapsto\sqrt{x} e y\mapsto\sqrt{y} são contínuas para x,y>0. A soma de funções contínuas é contínua, portanto g é contínua num vizinhança de (3,3). Para funções contínuas, o limite quando o ponto é aproximado é o próprio valor da função no ponto. Assim
\lim_{(x,y)\to(3,3)}\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} =\lim_{(x,y)\to(3,3)}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) =\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}.

Passo 5

Resumo didático rápido (como lembrar na prova): sempre que aparecer \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} ou algo parecido, pense em escrever x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}) e cancelar a diferença de raízes; depois avalie a soma de raízes no ponto. Isso evita tentar caminhos e trajetórias diferentes em limites de duas variáveis.

Resposta

2\sqrt{3}

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