Determine os limites, se possível:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma função de duas variáveis
. - Quando
temos e , logo o numerador tende a e o denominador tende a . Portanto a forma é indeterminada do tipo . - A raiz quadrada exige
e ; como estamos aproximando de , isso não é um problema. - A expressão original está indefinida quando
(isto é, quando ), mas limites consideram valores próximos ao ponto, não necessariamente o valor no ponto.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): quando aparece uma diferença de raízes no denominador é clássico usar a identidade da diferença de quadrados ou multiplicar pelo conjugado. A identidade é
onde
e
são quaisquer números (ou expressões). Aqui vamos aplicar essa identidade com
e
. Isso nos permite eliminar a diferença
no denominador por cancelamento algébrico, transformando a expressão indeterminada em algo mais simples e contínuo, que podemos avaliar por substituição.
Passo 3
Aplicando a identidade com
e
temos
Então, para pontos com
(onde o quociente está bem definido), podemos simplificar:
Observação importante: a simplificação foi feita apenas onde
. Mas o limite considera valores próximos a
com
, então podemos usar o valor da função simplificada para estudar o limite.
Passo 4
Agora trabalhamos com a função simplificada
As funções
e
são contínuas para
. A soma de funções contínuas é contínua, portanto
é contínua num vizinhança de
. Para funções contínuas, o limite quando o ponto é aproximado é o próprio valor da função no ponto. Assim
Passo 5
Resumo didático rápido (como lembrar na prova): sempre que aparecer
ou algo parecido, pense em escrever
e cancelar a diferença de raízes; depois avalie a soma de raízes no ponto. Isso evita tentar caminhos e trajetórias diferentes em limites de duas variáveis.