Determine os limites e prove que os valores satisfazem a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow-1}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -1}(-2x+1)
e, em seguida, provar que esse valor realmente é o limite segundo a definição \varepsilon - \delta. Vamos usar que polinômios são contínuos (logo basta substituição) e depois montar a prova formal usando desigualdades.

Passo 2

Como f(x)=-2x+1 é uma função polinomial (portanto contínua), basta substituir x=-1:
f(-1) = -2\cdot(-1)+1 = 2+1 = 3.
Logo
\lim_{x\to -1}(-2x+1) = 3.

Passo 3

Prova \varepsilon - \delta:
Queremos mostrar que, dado qualquer \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, se |x-(-1)|<\delta, então
\bigl|(-2x+1)-3\bigr|<\varepsilon.
Começamos por estimar
\bigl|(-2x+1)-3\bigr| = \bigl|-2x -2\bigr| = \bigl|-2(x+1)\bigr| = 2\,|x+1|.
Para garantir 2\,|x+1|<\varepsilon, basta escolher
\delta = \frac{\varepsilon}{2}.
De fato, se |x+1|<\delta, então
\bigl|(-2x+1)-3\bigr| = 2\,|x+1| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso completa a prova de que o limite é 3 segundo a definição formal.

Resposta

\lim_{x\to -1}(-2x+1) = 3.

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