Determine os limites e prove que os valores satisfazem a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow 1} x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to1}(x+3)
e provar que esse valor realmente satisfaz a definição de limite (epsilon–delta). Vamos usar o conceito de que
\lim_{x\to x_0}f(x)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-x_0|<\delta, vale |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Pela continuidade e linearidade da função f(x)=x+3, o palpite natural é que
L=f(1)=1+3=4.

Passo 3

Prova epsilon–delta:
Seja arbitrário \varepsilon>0. Queremos escolher \delta>0 de modo que
0<|x-1|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|(x+3)-4\bigr|<\varepsilon.
Observe que
\bigl|(x+3)-4\bigr| =|x-1|.
Basta então tomar
\delta = \varepsilon.
De fato, se 0<|x-1|<\delta=\varepsilon, então |f(x)-4|=|x-1|<\varepsilon, como desejado. Isso prova que
\lim_{x\to1}(x+3)=4.

Resposta

4

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