Determine os limites e prove que os valores satisfazem a definição de limite.
\lim _{x \rightarrow 9} \sqrt{x}+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar \displaystyle \lim_{x\to9}\bigl(\sqrt{x}+2\bigr)
e provar que esse valor satisfaz a definição formal de limite (é do tipo ε–δ).

Passo 2

Como a função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em x=9, temos
\lim_{x\to9}(\sqrt{x}+2) =\lim_{x\to9}\sqrt{x} \;+\; \lim_{x\to9}2 = \sqrt{9}+2 =3+2 =5.

Passo 3

Prova ε–δ. Queremos mostrar que, dado qualquer \epsilon>0, existe \delta>0 tal que, se 0<|x-9|<\delta, então
\bigl|\sqrt{x}+2 - 5\bigr|<\epsilon.
Note que
\bigl|\sqrt{x}+2 -5\bigr| =|\sqrt{x}-3| =\frac{|x-9|}{\sqrt{x}+3}.
Como \sqrt{x}\ge0, segue \sqrt{x}+3\ge3. Logo
|\sqrt{x}-3| \le\frac{|x-9|}{3}.
Para garantir \displaystyle |\sqrt{x}-3|<\epsilon, basta exigir
|x-9|<3\,\epsilon.
Portanto, basta escolher
\delta = 3\,\epsilon.
De fato, se 0<|x-9|<\delta, então
\bigl|\sqrt{x}+2 -5\bigr| \le\frac{|x-9|}{3} <\frac{\delta}{3} =\epsilon,
como queríamos.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to9}\bigl(\sqrt{x}+2\bigr)=5

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