(2,5 pontos ) Seja f(x, y)=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
(a) ( 2 ponto) Em que direção unitária f cresce mais rapidamente em P(1,0) e qual a taxa de variação nesta direção?
(b) (0,5 ponto) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P(1,0).
(c) (1 ponto) Suponha que x:=x(r, \theta)=r \cos \theta e y:=y(r, \theta)=r \operatorname{sen} \theta. Use a regra da cadeia para calcular \frac{\partial f}{\partial r}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\ln\sqrt{x^2+y^2}
e pede três coisas:
(a) a direção unitária de crescimento máximo de f em P(1,0) e a taxa nessa direção,
(b) a equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) em P(1,0),
(c) usando coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta, calcular \partial f/\partial r pela regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro lembramos que a direção de crescimento mais rápido de uma função é dada pelo gradiente. Calculamos
\nabla f(x,y) =\Bigl(f_x,f_y\Bigr) =\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}\ln\sqrt{x^2+y^2},\;\frac{\partial}{\partial y}\ln\sqrt{x^2+y^2}\Bigr).
Usando \ln\sqrt{x^2+y^2}=\tfrac12\ln(x^2+y^2),
f_x=\frac12\cdot\frac{2x}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad f_y=\frac{y}{x^2+y^2}.
Em P(1,0) isso vale
\nabla f(1,0)=\bigl(1/1,\,0/1\bigr)=(1,0).
Como \|\nabla f(1,0)\|=1, a direção unitária de maior crescimento é
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(1,0)}{\|\nabla f(1,0)\|}=(1,0),
e a taxa de variação máxima é exatamente \|\nabla f(1,0)\|=1.

Passo 3

Para o plano tangente ao gráfico z=f(x,y) em P(1,0), fazemos a aproximação linear
z - z_0 = f_x(1,0)\,(x-1) + f_y(1,0)\,(y-0),
sabendo que z_0=f(1,0)=\ln\sqrt{1+0}=0, f_x(1,0)=1 e f_y(1,0)=0. Logo
z = 1\cdot(x-1) + 0\cdot y \quad\Longrightarrow\quad z = x-1.

Passo 4

Considere agora x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial r} =f_x\,\frac{\partial x}{\partial r} +f_y\,\frac{\partial y}{\partial r} =\frac{x}{x^2+y^2}\cos\theta +\frac{y}{x^2+y^2}\sin\theta.
Como x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, temos
\frac{x\cos\theta+y\sin\theta}{x^2+y^2} =\frac{r\cos^2\theta+r\sin^2\theta}{r^2} =\frac{r}{r^2} =\frac1r.
Portanto \partial f/\partial r=1/r.

Resposta

(a) A direção unitária é (1,0) e a taxa máxima de variação é 1.
(b) O plano tangente é z = x - 1.
(c) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial r}=\frac1r.

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