pontos
Seja
.
(a) ( 2 ponto) Em que direção unitária
cresce mais rapidamente em
e qual a taxa de variação nesta direção?
(b)
ponto) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(c) (1 ponto) Suponha que
e
. Use a regra da cadeia para calcular
.
(a) ( 2 ponto) Em que direção unitária
(b)
(c) (1 ponto) Suponha que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede três coisas:
(a) a direção unitária de crescimento máximo de em
e a taxa nessa direção,
(b) a equação do plano tangente ao gráfico de em
,
(c) usando coordenadas polares , calcular
pela regra da cadeia.
(a) a direção unitária de crescimento máximo de
(b) a equação do plano tangente ao gráfico de
(c) usando coordenadas polares
Passo 2
Primeiro lembramos que a direção de crescimento mais rápido de uma função é dada pelo gradiente. Calculamos
Usando
,
Em
isso vale
Como
, a direção unitária de maior crescimento é
e a taxa de variação máxima é exatamente
.
Passo 3
Para o plano tangente ao gráfico
em
, fazemos a aproximação linear
sabendo que
,
e
. Logo
Passo 4
Considere agora
,
. Aplicando a regra da cadeia,
Como
e
, temos
Portanto
.
Resposta
(a) A direção unitária é
e a taxa máxima de variação é
.
(b) O plano tangente é .
(c) .
(b) O plano tangente é
(c)