Determine os limites das seguintes seqüências:
\left{\frac{e{n}-e{-n}}{e{n}+e{-n}}\right}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência (a_n) definida por
a_n = \frac{e^n - e^{-n}}{e^n + e^{-n}}
e pede o limite \lim_{n\to\infty}a_n. O conteúdo envolvido é limites de sequências exponenciais, e usaremos a técnica de fatorar o termo dominante para simplificar a expressão.

Passo 2

Como e^n cresce muito mais rápido que e^{-n}, dividimos numerador e denominador por e^n:
a_n = \frac{e^n - e^{-n}}{e^n + e^{-n}} = \frac{\frac{e^n}{e^n} - \frac{e^{-n}}{e^n}}{\frac{e^n}{e^n} + \frac{e^{-n}}{e^n}} = \frac{1 - e^{-2n}}{1 + e^{-2n}}.

Passo 3

Para n\to\infty, temos
e^{-2n} \to 0,
pois uma exponencial com expoente negativo e crescente em módulo tende a zero. Assim,
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1 - e^{-2n}}{1 + e^{-2n}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1.

Resposta

1

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