Prove que o conjunto dos reais é não enumerável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe uma bijeção entre os naturais
e os reais
. Isto é, queremos provar que
é não enumerável (não contável). Vamos usar o clássico argumento diagonal de Cantor, aplicando-o ao intervalo
: se
já é não enumerável, então todo
também o é, pois
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que exista enumeração de todos os números em
. Ou seja, existe sequência
tal que cada real em
aparece em algum lugar da lista. Escrevamos a expansão decimal de cada
como
onde cada
. Para evitar ambiguidades de finais infinitos em
, podemos exigir que nenhuma expansão termine numa sequência infinita de
.
Passo 3
Agora, construiremos um número
Então tomamos
Por construção,
, e
, logo não corremos o risco de ter infinitos
finais.
Passo 4
Mostramos que
não está na lista. De fato, para cada
temos que o
-ésimo dígito de
difere do
-ésimo dígito de
. Logo
para todo
. Isso contradiz a hipótese de que a lista era completa.
Resposta
Não existe enumeração de
nem de
. Logo, o conjunto dos reais é não enumerável.