Determine os limites das seguintes seqüências:
\left{\ln \frac{n^{2}+1}{(n+2)(n+3)}\right}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n = \ln\frac{n^{2}+1}{(n+2)(n+3)}.
O conteúdo principal é limite de sequência e uso da continuidade do logaritmo.

Passo 2

Para simplificar, defina
b_n = \frac{n^{2}+1}{(n+2)(n+3)}.
Então a_n = \ln b_n e basta achar \lim b_n.

Passo 3

Fatorando n^2 em cima e embaixo,
b_n = \frac{n^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(1+\tfrac{5}{n}+\tfrac{6}{n^{2}}\bigr)} = \frac{1+\tfrac{1}{n^{2}}}{1+\tfrac{5}{n}+\tfrac{6}{n^{2}}}.
Como \tfrac{1}{n^{2}}\to0 e \tfrac{5}{n}\to0, segue que
\lim_{n\to\infty}b_n = \frac{1+0}{1+0+0} = 1.

Passo 4

O logaritmo é contínuo, logo
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\ln b_n = \ln\Bigl(\lim_{n\to\infty}b_n\Bigr) = \ln1 = 0.

Resposta

0

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