QUESTÃO 3 (Valor 2,0 pontos): Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo usado será teste de comparação para p-séries (p
) e decomposição em frações parciais seguida de telescopagem usando números harmônicos generalizados.
Passo 2
Para verificar convergência, comparamos
com
. Como existe constante
tal que
e a série
é convergente (p-série com
), pelo teste da comparação a série dada também converge.
Passo 3
Para calcular a soma, fazemos a decomposição em frações parciais. As raízes de
são
logo
Passo 4
Definindo a soma parcial
e usando a extensão de números harmônicos
obtemos
Como
quando
, a soma da série é
Resposta
A série converge por comparação com
.
Sua soma é
Sua soma é
onde
denota o número harmônico generalizado.