QUESTÃO 3 (Valor 2,0 pontos): Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}+5 k+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2+5k+1}
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo usado será teste de comparação para p-séries (p =2) e decomposição em frações parciais seguida de telescopagem usando números harmônicos generalizados.

Passo 2

Para verificar convergência, comparamos \tfrac{1}{k^2+5k+1} com \tfrac{1}{k^2}. Como existe constante C>0 tal que
\frac{1}{k^2+5k+1}\le \frac{1}{k^2},
e a série \sum 1/k^2 é convergente (p-série com p=2>1), pelo teste da comparação a série dada também converge.

Passo 3

Para calcular a soma, fazemos a decomposição em frações parciais. As raízes de x^2+5x+1=0 são
a=\frac{5-\sqrt{21}}{2},\quad b=\frac{5+\sqrt{21}}{2},
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k^2+5k+1=(k+a)(k+b) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{k^2+5k+1} =\frac{1}{b-a}\Bigl(\frac{1}{k+a}-\frac{1}{k+b}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{21}}\Bigl(\frac{1}{k+a}-\frac{1}{k+b}\Bigr).

Passo 4

Definindo a soma parcial
S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2+5k+1} =\frac{1}{\sqrt{21}}\sum_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{k+a}-\frac{1}{k+b}\Bigr),
e usando a extensão de números harmônicos
\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+a}=H_{n+a}-H_a, \quad \sum_{k=1}^n\frac{1}{k+b}=H_{n+b}-H_b,
obtemos
S_n=\frac{1}{\sqrt{21}}\bigl(H_{n+a}-H_{n+b}+H_b-H_a\bigr).
Como H_{n+a}-H_{n+b}\to0 quando n\to\infty, a soma da série é
\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+5k+1} =\frac{H_b-H_a}{\sqrt{21}} \quad\text{com}\quad a=\tfrac{5-\sqrt{21}}{2},\; b=\tfrac{5+\sqrt{21}}{2}.

Resposta

A série converge por comparação com \sum1/k^2.
Sua soma é
\frac{H_{\frac{5+\sqrt{21}}{2}}-H_{\frac{5-\sqrt{21}}{2}}}{\sqrt{21}},
onde H_x denota o número harmônico generalizado.

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