Determine os limites das seguintes seqüências:
(4) lim n infty ln (n)raizn

Passo 1

Temos a sequência an = ln(n)raizn. O conteúdo aqui é limites de sequências que podem ser avaliados usando comparação de crescimento ou a regra de l’Hôpital; vamos usar l’Hôpital para funções afins.

Passo 2

Para aplicar a regra de l’Hôpital, estendemos an para a função real f(x) = ln(x)raizx e consideramos o limite quando x to infty. Temos forma indeterminada inftyinfty, então derivamos numerador e denominador separadamente.

Passo 3

A derivada do numerador ln(x) é 1x e a derivada do denominador raizx é 12raizx. Aplicando l’Hôpital, obtemos
limx to infty ln(x)raizx = limx to infty 1x12raizx = limx to infty 2raizxx = limx to infty 2raizx

Passo 4

Como raizx to infty quando x to infty, segue que 2raizx to 0. Portanto, o limite da sequência é 0.

Resposta

0

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