Sejam
dois vetores não-nulos de
e seja
o ângulo entre eles. Mostre que:
(a) se
, então
e
têm o mesmo sentido;
(b) se
, então
e
têm sentidos opostos.
(a) se
(b) se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, usando a definição de ângulo entre vetores em
e a desigualdade de Cauchy‐Schwarz, chegamos à conclusão sobre o sentido dos vetores quando
. O conteúdo envolve produto interno, norma de vetores, desigualdade de Cauchy‐Schwarz e o caso de igualdade nessa desigualdade.
Passo 2
Definimos o ângulo
entre
e
pela relação
Também lembramos a desigualdade de Cauchy‐Schwarz:
e que ocorre igualdade se, e somente se,
e
são linearmente dependentes (isto é,
para algum
).
Passo 3
Suponha primeiro que
. Então temos
o que implica
Mas pela desigualdade de Cauchy‐Schwarz, isso só ocorre no caso de igualdade:
. Substituindo em
e usando
, vemos que
Logo
, o que mostra que o escalar de proporcionalidade é positivo.
Passo 4
Agora suponha que
. De modo análogo,
implica
e novamente, pela igualdade em Cauchy‐Schwarz,
. Repetindo o cálculo com
, obtemos
ou seja,
, mostrando que o escalar é negativo.
Passo 5
Como
com
no primeiro caso, isso significa que
e
apontam no mesmo sentido. E com
no segundo caso, apontam em sentidos opostos.
Resposta
(a) Se
, então
com
, logo
e
têm o mesmo sentido.
(b) Se , então
com
, logo
e
têm sentidos opostos.
(b) Se