Sejam u, v dois vetores não-nulos de R^n e seja theta o ângulo entre eles. Mostre que:
(a) se cos theta=1, então u e v têm o mesmo sentido;
(b) se cos theta=-1, então u e v têm sentidos opostos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, usando a definição de ângulo entre vetores em R^n e a desigualdade de Cauchy‐Schwarz, chegamos à conclusão sobre o sentido dos vetores quando costheta=pm1. O conteúdo envolve produto interno, norma de vetores, desigualdade de Cauchy‐Schwarz e o caso de igualdade nessa desigualdade.

Passo 2

Definimos o ângulo theta entre u e v pela relação
costheta = ucdot v|u|,|v|
Também lembramos a desigualdade de Cauchy‐Schwarz:
|ucdot v| <= |u|,|v|
e que ocorre igualdade se, e somente se, u e v são linearmente dependentes (isto é, v=lambda u para algum lambda).

Passo 3

Suponha primeiro que costheta=1. Então temos
ucdot v|u|,|v|=1
o que implica
ucdot v = |u|,|v|
Mas pela desigualdade de Cauchy‐Schwarz, isso só ocorre no caso de igualdade: v=lambda u. Substituindo em ucdot v=|u|,|v| e usando |v|=|lambda|,|u|, vemos que
ucdot(lambda u)=lambda,|u|^2 = |u|,(|lambda|,|u|) = |lambda|,|u|^2
Logo lambda = |lambda|>0, o que mostra que o escalar de proporcionalidade é positivo.

Passo 4

Agora suponha que costheta=-1. De modo análogo,
ucdot v|u|,|v|=-1
implica
ucdot v = -|u|,|v|
e novamente, pela igualdade em Cauchy‐Schwarz, v=lambda u. Repetindo o cálculo com lambda, obtemos
lambda,|u|^2 = -|lambda|,|u|^2
ou seja, lambda = -|lambda|<0, mostrando que o escalar é negativo.

Passo 5

Como v=lambda u com lambda>0 no primeiro caso, isso significa que u e v apontam no mesmo sentido. E com lambda<0 no segundo caso, apontam em sentidos opostos.

Resposta

(a) Se costheta=1, então v=lambda u com lambda>0, logo u e v têm o mesmo sentido.
(b) Se costheta=-1, então v=lambda u com lambda<0, logo u e v têm sentidos opostos.

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