Determine os limites a seguir, por análise. Em seguida, verifique se eles existem destacando a causa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar por análise o limite
e verificar se esse limite existe, destacando a causa. Para decidir se o limite existe é necessário também verificar os limites laterais
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
, onde o denominador parece anular-se por causa do fator .
Passo 2
Vamos analisar separadamente o numerador e o denominador quando
.
Calcule o limite do numerador:
Calcule o limite do fator
do denominador:
E o fator
do denominador tende a
Portanto, ao todo o denominador tende a
(porque contém
) enquanto o numerador tende a um número não nulo (
). Isso é um sinal típico de que a razão pode divergir (tender a
), mas é preciso analisar o sinal e os limites laterais para ter certeza.
Passo 3
Reescrevo a função para separar a parte que tende a uma constante da parte que diverge:
Agora analiso cada fator quando
.
Para o primeiro fator:
Ou seja,
tende a uma constante negativa
.
O segundo fator é
. Observe que para
(tanto pela direita quanto pela esquerda) tem-se
e
Multiplicando o comportamento dos dois fatores, já que um tende a
e o outro tende a
, o produto tende a
Passo 4
Agora faço a checagem explícita dos limites laterais (importante para afirmar existência ou não):
Para
:
é positivo e pequeno,
, portanto
Para
:
continua sendo positivo e pequeno (pois
), e
também, então
Como os dois limites laterais existem (no sentido de limites impropriamente infinitos) e são iguais a
, a função diverge para
ao se aproximar de
. Em termos de existência: o limite não existe como número real finito; diz-se que o limite é
(diverge para
).