Determine os limites a seguir, por análise. Em seguida, verifique se eles existem destacando a causa.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-1}{x^{2}(x+2)}\,),

Passo 1

O enunciado pede para determinar por análise o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}
e verificar se esse limite existe, destacando a causa. Para decidir se o limite existe é necessário também verificar os limites laterais
\lim_{x\to 0^+}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)} \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{x-1}{x^{2}(x+2)}.
  • O ponto de interesse é x=0, onde o denominador parece anular-se por causa do fator x^{2}.

Passo 2

Vamos analisar separadamente o numerador e o denominador quando x\to 0.
Calcule o limite do numerador:
\lim_{x\to0}(x-1) = -1.
Calcule o limite do fator (x+2) do denominador:
\lim_{x\to0}(x+2)=2.
E o fator x^{2} do denominador tende a
\lim_{x\to0}x^{2}=0.
Portanto, ao todo o denominador tende a 0 (porque contém x^{2}) enquanto o numerador tende a um número não nulo ( -1). Isso é um sinal típico de que a razão pode divergir (tender a \pm\infty), mas é preciso analisar o sinal e os limites laterais para ter certeza.

Passo 3

Reescrevo a função para separar a parte que tende a uma constante da parte que diverge:
\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}=\frac{x-1}{x+2}\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Agora analiso cada fator quando x\to0.
Para o primeiro fator:
\lim_{x\to0}\frac{x-1}{x+2}=\frac{0-1}{0+2}=-\frac{1}{2}.
Ou seja, \dfrac{x-1}{x+2} tende a uma constante negativa -\tfrac{1}{2}.
O segundo fator é \dfrac{1}{x^{2}}. Observe que para x\to0 (tanto pela direita quanto pela esquerda) tem-se x^{2}>0 e
\frac{1}{x^{2}}\to +\infty.
Multiplicando o comportamento dos dois fatores, já que um tende a -\tfrac{1}{2} e o outro tende a +\infty, o produto tende a
-\tfrac{1}{2}\cdot(+\infty) = -\infty.

Passo 4

Agora faço a checagem explícita dos limites laterais (importante para afirmar existência ou não):
Para x\to0^+: x^{2} é positivo e pequeno, (x-1)/(x+2)\to -\tfrac{1}{2}<0, portanto
\lim_{x\to0^+}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)} = -\infty.
Para x\to0^-: x^{2} continua sendo positivo e pequeno (pois (-a)^2=a^2), e (x-1)/(x+2)\to -\tfrac{1}{2} também, então
\lim_{x\to0^-}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)} = -\infty.
Como os dois limites laterais existem (no sentido de limites impropriamente infinitos) e são iguais a -\infty, a função diverge para -\infty ao se aproximar de 0. Em termos de existência: o limite não existe como número real finito; diz-se que o limite é -\infty (diverge para -\infty).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{x-1}{x^{2}(x+2)} não existe como número real (diverge para -\infty).

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