Determine os limites a seguir; caso o limite não exista, verifique se o limite é
,
, ou nenhum destes casos é válido.
Passo 1
O enunciado pede oito limites envolvendo funções trigonométricas e comportamentos em pontos de continuidade, em zero (onde usamos limites fundamentais) e em pontos de descontinuidade (assíntotas) ou oscilações. Vamos precisar de:
– Continuidade de e
para substituição direta;
– Limites fundamentais e
;
– Teorema do confronto (squeeze) para funções oscilantes;
– Expansões de Taylor até ordem ou
para
e
perto de zero;
– Comportamento de perto de
.
– Continuidade de
– Limites fundamentais
– Teorema do confronto (squeeze) para funções oscilantes;
– Expansões de Taylor até ordem
– Comportamento de
Passo 2
Como
é contínua e
não se anula em
, basta substituir:
Passo 3
Usamos os limites fundamentais para razões de pequenos argumentos. Se
, quando
temos
E de modo análogo, com
,
Passo 4
Para
, escrevemos
Como
e
, concluímos que o quociente tende a
.
Passo 5
Expandindo
até a segunda ordem:
. Logo
Passo 6
Perto de
pela esquerda,
e
. Portanto
Passo 7
A função
oscila entre
e
conforme
não se estabiliza, logo
não existe (nem é infinito).
Passo 8
Por fim, para
usamos o squeeze:
e
, então