Determine os limites a seguir; caso o limite não exista, verifique se o limite é +infty, -infty, ou nenhum destes casos é válido.
& lim t pi / 2 sen(t)t ; lim t 0 sen tt^3 ; lim t 0 sen(pi t)t ; lim t 0 sen(1t) ; & lim t 0 t sen(1t) ; lim t 0 cos t-1t^2 ; lim t pi2^- tg t ; lim t 0 tg(2 t)tg(3 t)

Passo 1

O enunciado pede oito limites envolvendo funções trigonométricas e comportamentos em pontos de continuidade, em zero (onde usamos limites fundamentais) e em pontos de descontinuidade (assíntotas) ou oscilações. Vamos precisar de:
– Continuidade de sen e cos para substituição direta;
– Limites fundamentais limuto0sen uu=1 e limuto0tg uu=1;
– Teorema do confronto (squeeze) para funções oscilantes;
– Expansões de Taylor até ordem 2 ou 3 para sen e cos perto de zero;
– Comportamento de tg t=sen tcos t perto de t=pi2.

Passo 2

Como sen é contínua e t não se anula em t=pi2, basta substituir:
limttopi2sen(t)t =senl(pi2r)pi2 =1pi2 =2pi

Passo 3

Usamos os limites fundamentais para razões de pequenos argumentos. Se u=pi t, quando tto0 temos
limtto0sen(pi t)t =limtto0sen(pi t)pi t,pi =1cdotpi =pi
E de modo análogo, com tg usim u,
limtto0tg(2t)tg(3t) =limtto0tg(2t)2t, 2t3t, 3ttg(3t) =1cdot23cdot1 =23

Passo 4

Para limtto0sen tt^3, escrevemos
sen tt^3 =sen tt;1t^2
Como sen t/tto1 e 1/t^2to+infty, concluímos que o quociente tende a +infty.

Passo 5

Expandindo cos t até a segunda ordem: cos t=1-tfract^22+o(t^2). Logo
cos t-1t^2 =-tfract^22+o(t^2)t^2 =-12+o(1) ;longrightarrow; -12

Passo 6

Perto de t=pi2 pela esquerda, sen tto1 e cos tto0^+. Portanto
tg t=sen tcos tlongrightarrow+infty quando ttopi2^-

Passo 7

A função senl(tfrac1tr) oscila entre -1 e 1 conforme tto0 não se estabiliza, logo
limtto0senl(1tr)
não existe (nem é infinito).

Passo 8

Por fim, para t,sen(1/t) usamos o squeeze:
|t,sen(1/t)|<=|t| e |t|to0, então
limtto0t,senl(1tr)=0

Resposta

limttopi2sen(t)t=2pi
limtto0sen tt^3=+infty
limtto0sen(pi t)t=pi
limtto0senl(1tr) não existe
limtto0t,senl(1tr)=0
limtto0cos t-1t^2=-12
limttopi2^-tg t=+infty
limtto0tg(2t)tg(3t)=23

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