Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que nĂŁo existem:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação para
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos o mesmo resultado. Um caminho simples é quando
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Isso mostra que o limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
(caminho ao longo do eixo ): - Se
(caminho ):
Passo 3
Como obtemos resultados diferentes para caminhos diferentes (
e
), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções. Quando o limite depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.