Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que nĂŁo existem:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função 2xyx^2 + 2y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação para (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se obtemos o mesmo resultado. Um caminho simples é quando y = kx, onde k é uma constante.
Substituindo y = kx na função:
2x(kx)x^2 + 2(kx)^2 = 2k x^2x^2 + 2k^2x^2 = 2k1 + 2k^2
Isso mostra que o limite depende do valor de k. Por exemplo:
  • Se k = 0 (caminho ao longo do eixo x): 2 cdot 01 + 0 = 0
  • Se k = 1 (caminho y = x): 2 cdot 11 + 2 = 23

Passo 3

Como obtemos resultados diferentes para caminhos diferentes ( 0 e 23), isso indica que o limite não é o mesmo em todas as direções. Quando o limite depende do caminho de aproximação, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim(x, y) (0,0) 2 x yx^2+2 y^2 não existe.

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