Um industrial pode produzir rádios ao custo de 10 reais por peça e estima que se eles forem vendidos por um preço de x reais cada um, os consumidores comprariam aproximadamente (80-x) rádios por mês.
Determine a que preço que deve ser vendido cada rádio de modo que o lucro do industrial seria o maior possível.

Passo 1

O problema dá o custo de produção de cada rádio (10 reais) e a função demanda, que indica quantos rádios serão vendidos se o preço for x reais: aproximadamente 80-x unidades. A ideia é montar a função lucro e encontrar o valor de x que a torna máxima. Conteúdo: otimização de função quadrática usando derivada ou vértice.

Passo 2

A receita R(x) é o preço vezes a quantidade vendida, e o custo C(x) é o custo unitário vezes a quantidade. Logo:
R(x)=x,(80-x), C(x)=10,(80-x)
O lucro L(x) é a diferença: L(x)=R(x)-C(x).

Passo 3

Agora simplificamos L(x):
L(x)=x(80-x)-10(80-x)= (x-10)(80-x)
Expandindo:
L(x)=-x^2+90x-800
Isso mostra que temos uma parábola voltada para baixo.

Passo 4

Para maximizar essa função quadrática, podemos usar derivada. Calculamos
L'(x)=ddx(-x^2+90x-800)=-2x+90
Igualamos a zero para achar o ponto crítico:
-2x+90=0Rightarrow x=45

Passo 5

É bom checar que L''(x)=-2<0, ou seja, é mesmo um máximo, e que a demanda 80-x continua positiva para x=45. Tudo faz sentido.

Passo 6

Portanto, o preço que maximiza o lucro é x=45 reais.

Resposta

Vender cada rádio a R$45,00 para obter o lucro máximo.

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