Um industrial pode produzir rádios ao custo de 10 reais por peça e estima que se eles forem vendidos por um preço de
reais cada um, os consumidores comprariam aproximadamente
rádios por mês.
Determine a que preço que deve ser vendido cada rádio de modo que o lucro do industrial seria o maior possível.
Determine a que preço que deve ser vendido cada rádio de modo que o lucro do industrial seria o maior possível.
Passo 1
O problema dá o custo de produção de cada rádio (10 reais) e a função demanda, que indica quantos rádios serão vendidos se o preço for
reais: aproximadamente
unidades. A ideia é montar a função lucro e encontrar o valor de
que a torna máxima. Conteúdo: otimização de função quadrática usando derivada ou vértice.
Passo 2
A receita
é o preço vezes a quantidade vendida, e o custo
é o custo unitário vezes a quantidade. Logo:
O lucro
Passo 3
Agora simplificamos
:
Expandindo:
Isso mostra que temos uma parábola voltada para baixo.
Passo 4
Para maximizar essa função quadrática, podemos usar derivada. Calculamos
Igualamos a zero para achar o ponto crítico:
Passo 5
É bom checar que
, ou seja, é mesmo um máximo, e que a demanda
continua positiva para
. Tudo faz sentido.
Passo 6
Portanto, o preço que maximiza o lucro é
reais.
Resposta
Vender cada rádio a R$45,00 para obter o lucro máximo.