Para pensar: Um aluno de Cálculo I para resolver um limite de sua prova precisa encontrar uma função h(x) tal que h(x)=raiz[3]x-2-1raizx-raiz3, forall x neq 3 e que 3 in Dom(h). Você poderia ajudá-lo a encontrar tal função h?

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar uma extensão da função
h(x)=raiz[3]x-2-1raizx-raiz3, xneq3
de modo que ela fique definida em 3 também. O conteúdo aqui é cálculo de limite (vamos precisar da Regra de L’Hôpital ou do desenvolvimento de Taylor rápido para raízes) para avaliar o valor em 3.

Passo 2

Ao tentar substituir diretamente x=3 no quociente, vemos que o numerador e o denominador viram zero simultaneamente (forma indeterminada 0/0). Isso nos autoriza a usar a Regra de L’Hôpital, que diz que
limxto3f(x)g(x)=limxto3f'(x)g'(x), \ndesde que ambos os derivativos existam e o limite de f'(x)/g'(x) exista.

Passo 3

Vamos derivar as funções do numerador e do denominador:
Para f(x)=raiz[3]x-2=(x-2)^1/3,
f'(x)=13(x-2)^-2/3
Para g(x)=raizx=x^1/2,
g'(x)=12x^-1/2

Passo 4

Agora aplicamos L’Hôpital ao limite:
limxto3raiz[3]x-2-1raizx-raiz3 =limxto3f'(x)g'(x) =limxto3dfrac13(x-2)^-2/3dfrac12x^-1/2 =1/31/2cdotlimxto3(x-2)^-2/3x^-1/2
Substituindo x=3:
(x-2)^-2/3|x=3=1^-2/3=1,
x^-1/2|x=3=(3)^-1/2=1raiz3
Logo o limite vale
1/31/2cdot11/raiz3 =23cdotraiz3 =2raiz33

Passo 5

Para estender h(x) e incluir x=3 no domínio de forma contínua, basta definir
h(3)=2raiz33

Resposta

A função procurada é
h(x)= raiz[3]x-2-1raizx-raiz3,&xneq3, 2raiz33,&x=3

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