Para pensar: Um aluno de Cálculo I para resolver um limite de sua prova precisa encontrar uma função tal que e que . Você poderia ajudá-lo a encontrar tal função ?
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar uma extensão da função
de modo que ela fique definida em 3 também. O conteúdo aqui é cálculo de limite (vamos precisar da Regra de L’Hôpital ou do desenvolvimento de Taylor rápido para raízes) para avaliar o valor em 3.
Passo 2
Ao tentar substituir diretamente no quociente, vemos que o numerador e o denominador viram zero simultaneamente (forma indeterminada ). Isso nos autoriza a usar a Regra de L’Hôpital, que diz que
\ndesde que ambos os derivativos existam e o limite de exista.
Passo 3
Vamos derivar as funções do numerador e do denominador:
Para ,
Para ,
Passo 4
Agora aplicamos L’Hôpital ao limite:
Substituindo :
x^-1/2|x=3=(3)^-1/2=1raiz3
Logo o limite vale
1/31/2cdot11/raiz3 =23cdotraiz3 =2raiz33
Passo 5
Para estender h(x) e incluir x=3 no domínio de forma contínua, basta definir