Exercício 1.1 Calcule cada uma das seguintes integrais duplas sobre os retângulos indicados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre um retângulo $ R = [-1, 2] \times [0, 1] $, com a função integranda sendo $ x e^{xy} $. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a integral dupla $ \iint_{R} f(x, y) , dA $ calcula o volume sob a superfície $ z = f(x, y) $ sobre a região $ R $. Neste caso, nossa função é $ f(x, y) = x e^{xy} $.
Passo 3
Vamos transformar a integral dupla em uma iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Nossa região $ R $ está definida pelos intervalos $ x $ de -1 a 2 e $ y $ de 0 a 1. Então, podemos escrever:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a $ y $. Aqui, trataremos $ x $ como uma constante:
Para resolver essa integral, usamos a substituição. Seja $ u = xy $, então $ du = x , dy $. Isso simplifica a integral para:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa integral também é separável:
Passo 6
Calculando cada parte:
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$ \int e^{x} , dx = e^{x} + C $, então avaliado de -1 a 2 dá $ e^{2} - e^{-1} $.
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$ \int 1 , dx = x + C $, avaliado de -1 a 2 dá $ 2 - (-1) = 3 $.
Passo 7
Subtraindo os resultados:
Resposta
O valor da integral dupla é $ e^{2} - e^{-1} - 3 $.