Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que nĂŁo existem:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x{4}+y{4}}{\sqrt{x{2}+y{2}+9}-3}

Passo 1

Queremos calcular o limite de uma função de duas variáveis: lim(x,y)to(0,0) x^4 + y^4raizx^2+y^2+9-3. O conteúdo aqui é limite de funções de várias variáveis e vamos usar a técnica de racionalização do denominador para facilitar a avaliação.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador por raizx^2+y^2+9+3. Assim, obtemos:

Passo 3

x^4+y^4raizx^2+y^2+9-3 = (x^4+y^4)(raizx^2+y^2+9+3)(raizx^2+y^2+9-3)(raizx^2+y^2+9+3) = (x^4+y^4)(raizx^2+y^2+9+3)x^2+y^2

Passo 4

Agora note que x^4+y^4<= (x^2+y^2)^2, logo
0<= x^4+y^4x^2+y^2<= x^2+y^2,
e que raizx^2+y^2+9+3to 6 quando (x,y)to(0,0). Portanto o produto
x^4+y^4x^2+y^2cdot(raizx^2+y^2+9+3)
tende a 0cdot6=0.

Resposta

0

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