Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
com
e
Lembrem que a inversa da função seno restrita ao intervalo
é chamada de função arcoseno e a inversa da função tangente restrita ao intervalo
é chamada de função arcotangente.
Lembrem que a inversa da função seno restrita ao intervalo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função f(x)=tg(x), com Dom(f)=(-π/2,π/2) e contradomínio ℝ, é invertível (isto é, bijetora) e, em caso afirmativo, achar f⁻¹.
Passo 2
Para injetividade, observamos que a derivada de f é
que é sempre positiva em (-π/2,π/2). Como f’ > 0, f é estritamente crescente nesse intervalo, logo é injetora.
Passo 3
Para sobrejetividade, note que
e
Além disso, tan(x) é contínua em (-π/2,π/2). Pelo Teorema do Valor Intermediário e pelos limites acima, a imagem de f é todo ℝ, logo f é sobrejetora.
Passo 4
Como f é injetora e sobrejetora, concluímos que ela é bijetora e, portanto, invertível.
Passo 5
Para encontrar a inversa, basta trocar x↔y na equação y=tan(x) e resolver para y=arctan(x). Assim,
Resposta
A função é invertível e sua inversa é f^{-1}(x)=\arctan(x) , com Dom(f^{-1})=ℝ e Im(f^{-1})=(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).