Determine se as seguintes funções são invertíveis (lembre que uma função é invertível se, e somente se, é bijetora, isto é, injetora e sobrejetora) e em caso afirmativo determine a sua inversa.
f(x)=tg(x) com Dom(f)=(-pi2, pi2) e CD=R
Lembrem que a inversa da função seno restrita ao intervalo [-pi2, pi2] é chamada de função arcoseno e a inversa da função tangente restrita ao intervalo (-pi2, pi2) é chamada de função arcotangente.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=tg(x), com Dom(f)=(-π/2,π/2) e contradomínio ℝ, é invertível (isto é, bijetora) e, em caso afirmativo, achar f⁻¹.

Passo 2

Para injetividade, observamos que a derivada de f é
f'(x)=sec^2(x),
que é sempre positiva em (-π/2,π/2). Como f’ > 0, f é estritamente crescente nesse intervalo, logo é injetora.

Passo 3

Para sobrejetividade, note que
limxto(-pi2)^+tan(x)=-infty
e
limxto(pi2)^-tan(x)=+infty
Além disso, tan(x) é contínua em (-π/2,π/2). Pelo Teorema do Valor Intermediário e pelos limites acima, a imagem de f é todo ℝ, logo f é sobrejetora.

Passo 4

Como f é injetora e sobrejetora, concluímos que ela é bijetora e, portanto, invertível.

Passo 5

Para encontrar a inversa, basta trocar x↔y na equação y=tan(x) e resolver para y=arctan(x). Assim,
f^-1(x)=arctan(x)

Resposta

A função é invertível e sua inversa é f^{-1}(x)=\arctan(x) , com Dom(f^{-1})=ℝ e Im(f^{-1})=(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}).

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