Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que nĂŁo existem:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x{3}+y{3}\right)}{x{3}+y{3}}
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x{3}+y{3}\right)}{x{3}+y{3}}
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite de uma função quando o ponto 
  se aproxima de 
 . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e limites conhecidos.
Passo 2
Olha só a função que temos: 
 . Nosso objetivo é descobrir o que essa expressão se aproxima quando 
  e 
  estão indo para zero.
Passo 3
Primeiro, observe que quando 
 , os termos 
  e 
  também vão para zero. Então, 
  tende a zero. Vamos chamar essa soma de 
 , ou seja, 
 .
Passo 4
A função então fica 
 . Agora, sabemos de cálculo que 
 . Essa é uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função seno.
Passo 5
Como 
  está se aproximando de zero quando 
  se aproxima de 
 , podemos aplicar diretamente essa propriedade ao nosso caso.
Resposta
Portanto, o limite é igual a 
 .