Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que nĂŁo existem:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x{3}+y{3}\right)}{x{3}+y{3}}
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x{3}+y{3}\right)}{x{3}+y{3}}
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite de uma função quando o ponto
se aproxima de
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e limites conhecidos.
Passo 2
Olha só a função que temos:
. Nosso objetivo é descobrir o que essa expressão se aproxima quando
e
estão indo para zero.
Passo 3
Primeiro, observe que quando
, os termos
e
também vão para zero. Então,
tende a zero. Vamos chamar essa soma de
, ou seja,
.
Passo 4
A função então fica
. Agora, sabemos de cálculo que
. Essa é uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função seno.
Passo 5
Como
está se aproximando de zero quando
se aproxima de
, podemos aplicar diretamente essa propriedade ao nosso caso.
Resposta
Portanto, o limite é igual a
.