Determine os limites a seguir, se existirem, ou mostre que nĂŁo existem:
a)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x{3}+y{3}\right)}{x{3}+y{3}}

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente precisa encontrar o limite de uma função quando o ponto (x, y) se aproxima de (0,0). O conteúdo envolvido aqui é cálculo de limites em funções de duas variáveis, e vamos precisar usar propriedades de funções trigonométricas e limites conhecidos.

Passo 2

Olha só a função que temos: sin (x^3+y^3)x^3+y^3. Nosso objetivo é descobrir o que essa expressão se aproxima quando x e y estão indo para zero.

Passo 3

Primeiro, observe que quando (x, y) (0,0), os termos x^3 e y^3 também vão para zero. Então, x^3 + y^3 tende a zero. Vamos chamar essa soma de z, ou seja, z = x^3 + y^3.

Passo 4

A função então fica sin(z)z. Agora, sabemos de cálculo que limz 0 sin(z)z = 1. Essa é uma propriedade fundamental dos limites envolvendo a função seno.

Passo 5

Como z = x^3 + y^3 está se aproximando de zero quando (x, y) se aproxima de (0,0), podemos aplicar diretamente essa propriedade ao nosso caso.

Resposta

Portanto, o limite é igual a 1.

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