No itens a seguir, determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função dada.
f(x)=3 sen(2 x-pi2)+1

Passo 1

Temos a função f(x)=3sinl(2x-tfracpi2r)+1. O conteúdo é análise de transformações de funções trigonométricas básicas (seno), e para resolver precisamos identificar domínio, amplitude, deslocamentos (vertical e horizontal) e período antes de traçar o gráfico.

Passo 2

Funções seno e cosseno não têm restrições em x, então o domínio de f é todo o conjunto dos números reais: R.

Passo 3

Em uma função da forma Asin(dots)+D, a amplitude é |A| e o deslocamento vertical é D. Aqui A=3 e D=1, então a imagem (conjunto de valores de f) é
[D-|A|,;D+|A|]=[1-3,;1+3]=[-2,4]

Passo 4

Para o período, a fórmula é T=tfrac2pi|b| quando a variável aparece como sin(bx+dots). Aqui b=2, logo T=tfrac2pi2=pi. Para o deslocamento horizontal, escrevemos
2x-tfracpi2=2l(x-tfracpi4r),
ou seja, houve deslocamento para a direita de tfracpi4.

Passo 5

No esboço, desenhamos uma senoide de período pi, amplitude 3 e eixo médio em y=1, começando em x=tfracpi4 (valor médio). Os pontos-chave num ciclo são:
  • x=tfracpi4,;f=1
  • x=tfracpi2,;f=4 (máximo)
  • x=tfrac3pi4,;f=1
  • x=pi,;f=-2 (mínimo)
  • x=tfrac5pi4,;f=1
    Conectando esses pontos com a forma suave de uma senoide, obtemos o esboço desejado.

Resposta

Domínio: R. Imagem: [-2,4]. Gráfico: senoide de amplitude 3, período pi, deslocada para a direita em tfracpi4 e para cima em 1, com pontos-chave ( tfracpi4,1), ( tfracpi2,4), ( tfrac3pi4,1), ( pi,-2), ( tfrac5pi4,1).

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