Determine os limites a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x y \sqrt{x+y}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y\,\sqrt{x+y}}{x^{2}+y^{2}}
Este é um limite em duas variáveis, e vamos verificar se existe e qual é seu valor usando coordenadas polares e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Note que a função está definida somente quando x+y\ge0, pois aparece \sqrt{x+y}. Na vizinhança do ponto (0,0) consideramos todas as trajetórias que permanecem no conjunto \{(x,y)\mid x+y\ge0\}.

Passo 3

Fazendo a troca para coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
temos r\ge0 e a condição x+y\ge0 vira \cos\theta+\sin\theta\ge0. Substituindo na expressão:
\frac{x\,y\,\sqrt{x+y}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)\,\sqrt{r(\cos\theta+\sin\theta)}}{r^{2}} =r^{\tfrac52-2}\,\cos\theta\sin\theta\,\sqrt{\cos\theta+\sin\theta} =r^{\tfrac12}\,\cos\theta\sin\theta\,\sqrt{\cos\theta+\sin\theta}.

Passo 4

Como \cos\theta\sin\theta e \sqrt{\cos\theta+\sin\theta} são funções limitadas na região \cos\theta+\sin\theta\ge0, existe constante M>0 tal que
\bigl|\cos\theta\sin\theta\,\sqrt{\cos\theta+\sin\theta}\bigr|\le M.
Logo
\left|\frac{x\,y\,\sqrt{x+y}}{x^{2}+y^{2}}\right| = r^{\tfrac12}\,\bigl|\cos\theta\sin\theta\,\sqrt{\cos\theta+\sin\theta}\bigr| \le M\,r^{\tfrac12}.
Como r\to0 implica M\,r^{1/2}\to0, pelo Teorema do Confronto o limite da função é 0.

Resposta

O valor do limite é 0.

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