Determine a linearização da função f: R^2 longrightarrow R dada por f(x, y)=x sen(x y) no ponto (pi2, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $. A linearização é basicamente uma aproximação linear da função perto desse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula da linearização de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da linearização de uma função $ f(x, y) $ em um ponto $ (a, b) $:
f(x, y)
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar $ f_x $ e $ f_y $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Usando a regra do produto:
x
Simplificando:
fx(x, y) = partialpartial x ( x sin(xy) )

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Aqui, $ x $ é tratado como constante, então:
y

Passo 5

Agora precisamos avaliar $ f(a, b) $, $ f_x(a, b) $ e $ f_y(a, b) $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $.
Primeiro, $ f(a, b) $:
f(a, b)
Agora, $ f_x(a, b) $:
fx(a, b)
E, por fim, $ f_y(a, b) $:
fy(a, b)

Passo 6

Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar a fórmula da linearização:
L(x, y) = f(pi2, 1) + fx(pi2, 1)(x - pi2) + fy(pi2, 1)(y - 1)
Substituindo os valores encontrados:
L(x, y) = pi2 + 1 cdot (x - pi2) + 0 cdot (y - 1)
Simplificando:
L(x, y) = pi2 + x - pi2 = x

Resposta

A linearização da função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $ é $ L(x, y) = x $.

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