Determine a linearização da função
dada por
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $. A linearização é basicamente uma aproximação linear da função perto desse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a fórmula da linearização de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da linearização de uma função $ f(x, y) $ em um ponto $ (a, b) $:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar $ f_x $ e $ f_y $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é tratado como constante, então:
Passo 5
Agora precisamos avaliar $ f(a, b) $, $ f_x(a, b) $ e $ f_y(a, b) $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $.
Primeiro, $ f(a, b) $:
Agora, $ f_x(a, b) $:
E, por fim, $ f_y(a, b) $:
Passo 6
Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar a fórmula da linearização:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Resposta
A linearização da função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ no ponto $ \left(\frac{\pi}{2}, 1\right) $ é $ L(x, y) = x $.