Resolva a equação diferencial:
y^prime prime+4 y=sin (x), y(0)=0, y^prime(0)=1
Utilize o método de variação de parâmetros.

Passo 1

A equação dada é y''+4y=sin(x) com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, e vamos usar o método de variação de parâmetros: precisamos primeiro achar as soluções fundamentais da equação homogênea.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea y''+4y=0: montamos a equação característica r^2+4=0, cujas raízes são r=pm2i. Logo, a solução geral homogênea é
yh=C1cos(2x)+C2sin(2x)
Definimos as soluções fundamentais y1=cos(2x) e y2=sin(2x).

Passo 3

No método de variação de parâmetros propomos
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x),
e impomos as condições auxiliares
u1'y1+u2'y2=0,
u1'y1'+u2'y2'=sin(x)
O Wronskiano é
W=y1&y2y1'&y2'=cos(2x)cdot2cos(2x)-(-2sin(2x))cdotsin(2x)=2

Passo 4

As fórmulas para u1' e u2' são
u1'=-y2,sin(x)W=-12sin(2x)sin(x),
u2'=y1,sin(x)W=12cos(2x)sin(x)

Passo 5

Agora integramos:
Para u1:
u1=-12integralsin(2x)sin(x),dx=-13sin^3(x)
Para u2:
u2=12integralcos(2x)sin(x),dx=12cos(x)-13cos^3(x)

Passo 6

Construímos
$$y_p=u_1\cos(2x)+u_2\sin(2x).
yp=u1cos(2x)+u2sin(2x) éáy_p=\frac{1}{3}\sin(x).
$$

Passo 7

A solução geral é
$$y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)+\tfrac{1}{3}\sin(x).
y(x)=C1cos(2x)+C2sin(2x)+tfrac13sin(x) çõy’(0)=2C_2+\tfrac{1}{3}=1\implies C_2=\tfrac{1}{3}.
$$

Passo 8

Substituindo C1=0 e C2=1/3, obtemos a solução final.

Resposta

y(x)=tfrac13sin(2x)+tfrac13sin(x)

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