Determine a linearização L(x) de f(x)=e^x em x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização $ L(x) $ da função $ f(x) = e^{x} $ no ponto $ x = 0 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e aproximações lineares de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a linearização. A linearização de uma função em um ponto é uma reta que aproxima essa função perto desse ponto. Ela é baseada na ideia de que, se você olhar bem de perto, qualquer curva parece uma linha reta.

Passo 3

A fórmula para a linearização de uma função $ f $ no ponto $ a $ é:
f
Isso quer dizer que a linearização é a soma do valor da função no ponto $ a $ mais a derivada da função nesse ponto, multiplicada pela diferença $ (x - a) $.

Passo 4

No nosso caso, a função é $ f(x) = e^{x} $ e o ponto de linearização é $ a = 0 $. Então, precisamos calcular $ f(0) $ e $ f’(0) $.

Passo 5

Calculando $ f(0) $:
f(0)
Então, o valor da função no ponto $ 0 $ é $ 1 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada de $ f(x) = e^{x} $. A derivada de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é:
f(x) = e^x
Portanto, $ f’(0) = e^{0} = 1 $.

Passo 7

Com esses valores, podemos montar a expressão da linearização:
L(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 cdot x = 1 + x

Resposta

A linearização de $ f(x) = e^{x} $ em $ x = 0 $ é $ L(x) = 1 + x $.

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