Determine a linearização
de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a linearização $ L(x) $ da função $ f(x) = e^{x} $ no ponto $ x = 0 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas e aproximações lineares de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a linearização. A linearização de uma função em um ponto é uma reta que aproxima essa função perto desse ponto. Ela é baseada na ideia de que, se você olhar bem de perto, qualquer curva parece uma linha reta.
Passo 3
A fórmula para a linearização de uma função $ f $ no ponto $ a $ é:
Isso quer dizer que a linearização é a soma do valor da função no ponto $ a $ mais a derivada da função nesse ponto, multiplicada pela diferença $ (x - a) $.
Passo 4
No nosso caso, a função é $ f(x) = e^{x} $ e o ponto de linearização é $ a = 0 $. Então, precisamos calcular $ f(0) $ e $ f’(0) $.
Passo 5
Calculando $ f(0) $:
Então, o valor da função no ponto $ 0 $ é $ 1 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada de $ f(x) = e^{x} $. A derivada de $ e^{x} $ em relação a $ x $ é:
Portanto, $ f’(0) = e^{0} = 1 $.
Passo 7
Com esses valores, podemos montar a expressão da linearização:
Resposta
A linearização de $ f(x) = e^{x} $ em $ x = 0 $ é $ L(x) = 1 + x $.