Questão (2): Para cada função abaixo determine os intervalos abertos em que a função é crescente e decrescente, identifique os extremos relativos e esboce o gráfico de
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Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: A função é f(x)=−x3+2x2, domínio em todo ℝ. A tarefa é achar onde f cresce e decresce, identificar extremos relativos e esboçar o gráfico. Vamos precisar calcular a derivada de f e fazer teste de sinais.
Passo 2
Cálculo da derivada e pontos críticos: A derivada é
Os pontos críticos surgem de f’(x)=0, ou seja x=0 e x=4/3.
Passo 3
Análise do sinal de f’ e intervalos de monotonicidade: Como f’(x)=-x(3x-4) é um produto, temos
– Para x<0: x<0 e (3x-4)<0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decrescente em (−∞,0).
– Para 0<x<4/3: x>0 e (3x-4)<0 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f crescente em (0,4/3).
– Para x>4/3: x>0 e (3x-4)>0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decrescente em (4/3,∞).
– Para x<0: x<0 e (3x-4)<0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decrescente em (−∞,0).
– Para 0<x<4/3: x>0 e (3x-4)<0 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f crescente em (0,4/3).
– Para x>4/3: x>0 e (3x-4)>0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decrescente em (4/3,∞).
Passo 4
Identificação dos extremos relativos e valores: Em x=0, f’ muda de negativo para positivo ⇒ mínimo relativo. Em x=4/3, f’ muda de positivo para negativo ⇒ máximo relativo. Calculando f(0)=0 e
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico: É uma cúbica invertida que decresce até (0,0), sobe até o ponto de máximo em
e então decresce para −∞. O eixo x é interceptado em x=0 e x=2 (pois f(2)=0).
Resposta
f é crescente em (0,4/3) e decrescente em (−∞,0) e (4/3,∞). Há mínimo relativo em (0,0) e máximo relativo em
. O gráfico é o da cúbica invertida que decresce até (0,0), cresce até (4/3,32/27) e depois decresce.