Questão (2): Para cada função abaixo determine os intervalos abertos em que a função é crescente e decrescente, identifique os extremos relativos e esboce o gráfico de f.
f(x)=-x^3+2x^2;

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: A função é f(x)=−x3+2x2, domínio em todo ℝ. A tarefa é achar onde f cresce e decresce, identificar extremos relativos e esboçar o gráfico. Vamos precisar calcular a derivada de f e fazer teste de sinais.

Passo 2

Cálculo da derivada e pontos críticos: A derivada é
f'(x)=ddx(-x^3+2x^2)=-3x^2+4x=-x(3x-4)
Os pontos críticos surgem de f’(x)=0, ou seja x=0 e x=4/3.

Passo 3

Análise do sinal de f’ e intervalos de monotonicidade: Como f’(x)=-x(3x-4) é um produto, temos
– Para x<0: x<0 e (3x-4)<0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decrescente em (−∞,0).
– Para 0<x<4/3: x>0 e (3x-4)<0 ⇒ f’(x)>0 ⇒ f crescente em (0,4/3).
– Para x>4/3: x>0 e (3x-4)>0 ⇒ f’(x)<0 ⇒ f decrescente em (4/3,∞).

Passo 4

Identificação dos extremos relativos e valores: Em x=0, f’ muda de negativo para positivo ⇒ mínimo relativo. Em x=4/3, f’ muda de positivo para negativo ⇒ máximo relativo. Calculando f(0)=0 e
fl(4/3r)=-l(43r)^3+2l(43r)^2=-6427+329=-6427+9627=3227

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico: É uma cúbica invertida que decresce até (0,0), sobe até o ponto de máximo em l(4/3,32/27r) e então decresce para −∞. O eixo x é interceptado em x=0 e x=2 (pois f(2)=0).

Resposta

f é crescente em (0,4/3) e decrescente em (−∞,0) e (4/3,∞). Há mínimo relativo em (0,0) e máximo relativo em l(4/3,32/27r). O gráfico é o da cúbica invertida que decresce até (0,0), cresce até (4/3,32/27) e depois decresce.

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