Questão (5): Para cada função abaixo determine os pontos críticos, os intervalos onde f cresce e decresce, os pontos de inflexão caso existam e as assíntotas caso existam e esboce o gráfico.
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Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função quadrática f(x)=x^{2}-4x+3. O que precisamos é achar os pontos críticos, identificar onde f cresce e decresce, verificar possíveis pontos de inflexão, ver se há assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira. Temos
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
O valor da função nesse ponto é f(2)=2^{2}-4\cdot2+3=-1, logo o ponto crítico é (2,-1).
Passo 3
Para determinar onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f’(x)=2x-4: fica negativa quando x<2 e positiva quando x>2. Assim f é decrescente em (-∞,2) e crescente em (2,∞).
Passo 4
Para pontos de inflexão, usamos a derivada segunda:
Como f’’(x) é constante e positiva, a concavidade é sempre para cima e não há mudança de concavidade. Portanto não existem pontos de inflexão.
Passo 5
Como f é polinomial de grau 2, não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, anotamos: vértice em (2,-1), raízes em x=1 e x=3 (resolvendo x^{2}-4x+3=0) e y-intercept f(0)=3. É uma parábola com concavidade voltada para cima, passando por (1,0), (3,0) e (0,3).
Resposta
Ponto crítico: (2,-1). f é decrescente em (-∞,2) e crescente em (2,∞). Não há pontos de inflexão. Não há assíntotas. Gráfico: parábola voltada para cima com vértice em (2,-1) e raízes em x=1 e x=3.