Questão (5): Para cada função abaixo determine os pontos críticos, os intervalos onde f cresce e decresce, os pontos de inflexão caso existam e as assíntotas caso existam e esboce o gráfico.
f(x)=x^2-4x+3;

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função quadrática f(x)=x^{2}-4x+3. O que precisamos é achar os pontos críticos, identificar onde f cresce e decresce, verificar possíveis pontos de inflexão, ver se há assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira. Temos
f'(x)=ddx(x^2-4x+3)=2x-4
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
2x-4=0 Rightarrow x=2
O valor da função nesse ponto é f(2)=2^{2}-4\cdot2+3=-1, logo o ponto crítico é (2,-1).

Passo 3

Para determinar onde f cresce ou decresce, analisamos o sinal de f’(x)=2x-4: fica negativa quando x<2 e positiva quando x>2. Assim f é decrescente em (-∞,2) e crescente em (2,∞).

Passo 4

Para pontos de inflexão, usamos a derivada segunda:
f''(x)=ddx(2x-4)=2
Como f’’(x) é constante e positiva, a concavidade é sempre para cima e não há mudança de concavidade. Portanto não existem pontos de inflexão.

Passo 5

Como f é polinomial de grau 2, não há assíntotas verticais nem horizontais nem oblíquas.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, anotamos: vértice em (2,-1), raízes em x=1 e x=3 (resolvendo x^{2}-4x+3=0) e y-intercept f(0)=3. É uma parábola com concavidade voltada para cima, passando por (1,0), (3,0) e (0,3).

Resposta

Ponto crítico: (2,-1). f é decrescente em (-∞,2) e crescente em (2,∞). Não há pontos de inflexão. Não há assíntotas. Gráfico: parábola voltada para cima com vértice em (2,-1) e raízes em x=1 e x=3.

Exercícios relacionados