Determine $\log_{2}(16)$ com mudança de base para base 10, útil em computação.
Passo 1
O que o problema pede: calcular
usando mudança de base para a base 10 (útil em computação).
Informações dadas: o logaritmando é
, a base original é
e queremos expressar o logaritmo em termos de logaritmos de base
.
Passo 2
O que é um logaritmo — lembre explicadinha:
é o número
tal que
. Aqui
é a base (maior que 0 e diferente de 1),
é o argumento (positivo) e
é o valor do logaritmo. Ex.:
porque
.
Passo 3
Fórmula de mudança de base — vamos prová-la passo a passo: se
então por definição
. Agora aplicamos logaritmo de qualquer outra base
(por exemplo
) aos dois lados:
Pela propriedade dos logaritmos (logaritmo de potência),
. Assim
Isolando
obtemos a fórmula de mudança de base:
Aqui
pode ser qualquer base
; para computação escolhemos
.
Passo 4
Aplicando a mudança de base com
:
Agora use uma propriedade útil:
. Pelo logaritmo de potência,
Passo 5
Substituímos isso na razão:
Como
é diferente de zero, ele cancela e sobra
Passo 6
Cheque numérico (opcional, só para confirmar):
. Então
e
. Confere com o resultado exato.