Determine $\log_{2}(16)$ com mudança de base para base 10, útil em computação.

Passo 1

O que o problema pede: calcular \log_{2}(16) usando mudança de base para a base 10 (útil em computação).
Informações dadas: o logaritmando é 16, a base original é 2 e queremos expressar o logaritmo em termos de logaritmos de base 10.

Passo 2

O que é um logaritmo — lembre explicadinha: \log_{b}(a) é o número x tal que b^{x}=a. Aqui b é a base (maior que 0 e diferente de 1), a é o argumento (positivo) e x é o valor do logaritmo. Ex.: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Fórmula de mudança de base — vamos prová-la passo a passo: se \;x=\log_{b}(a)\; então por definição \;b^{x}=a. Agora aplicamos logaritmo de qualquer outra base k (por exemplo k=10) aos dois lados:
\log_{k}\bigl(b^{x}\bigr)=\log_{k}(a).
Pela propriedade dos logaritmos (logaritmo de potência), \log_{k}\bigl(b^{x}\bigr)=x\log_{k}(b). Assim
x\log_{k}(b)=\log_{k}(a).
Isolando x obtemos a fórmula de mudança de base:
\log_{b}(a)=\dfrac{\log_{k}(a)}{\log_{k}(b)}.
Aqui \log_{k} pode ser qualquer base k>0,\,k\neq1; para computação escolhemos k=10.

Passo 4

Aplicando a mudança de base com k=10:
\log_{2}(16)=\dfrac{\log_{10}(16)}{\log_{10}(2)}.
Agora use uma propriedade útil: 16=2^{4}. Pelo logaritmo de potência,
\log_{10}(16)=\log_{10}\bigl(2^{4}\bigr)=4\log_{10}(2).

Passo 5

Substituímos isso na razão:
\log_{2}(16)=\dfrac{4\log_{10}(2)}{\log_{10}(2)}.
Como \log_{10}(2) é diferente de zero, ele cancela e sobra
\log_{2}(16)=4.

Passo 6

Cheque numérico (opcional, só para confirmar): \log_{10}(2)\approx0,30103. Então \log_{10}(16)\approx1,20412 e \dfrac{1,20412}{0,30103}\approx4. Confere com o resultado exato.

Resposta

4

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