\int\left(7 y-2 y^{3}\right) \cdot e^{y^{4}-7 y^{2}} d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int\left(7 y-2 y^{3}\right)\cdot e^{y^{4}-7 y^{2}}\,dy.
Informações dadas: a função a ser integrada é um produto de um polinômio em y (isto é, 7y-2y^{3}) e uma exponencial com expoente y^{4}-7y^{2}. Não há mais restrições nem dados adicionais.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): quando vemos uma exponencial e^{\text{algo}} e a derivada desse “algo” aparece (ou quase aparece) multiplicando e^{\text{algo}}, costuma funcionar bem a substituição u=\text{algo}. Aqui o “algo” é y^{4}-7y^{2}. Vamos testar essa substituição. Isso é o mesmo que tentar inverter a regra da cadeia (a derivada de e^{u} é e^{u}\,u'), então fazer u=y^{4}-7y^{2} costuma simplificar.

Passo 3

Fazendo a substituição proposta:
u = y^{4}-7y^{2}.
Agora calculamos du em função de dy. Diferenciando em relação a y:
\frac{du}{dy} = 4y^{3}-14y.
Podemos escrever isso como
du = (4y^{3}-14y)\,dy.
Repare que 4y^{3}-14y = 2(2y^{3}-7y). Então
du = 2(2y^{3}-7y)\,dy.

Passo 4

Agora relacionamos isso com o polinômio que aparece na integral original, que é 7y-2y^{3}. Observação útil:
7y-2y^{3} = -(2y^{3}-7y).
Usando a relação obtida para du, temos
(2y^{3}-7y)\,dy = \frac{1}{2}\,du.
Portanto
(7y-2y^{3})\,dy = -\frac{1}{2}\,du.
Essa expressão mostra que o fator polinomial vezes dy transforma-se numa constante vezes du, ou seja, a substituição funciona direitinho.

Passo 5

Substituímos na integral original: como u=y^{4}-7y^{2} e (7y-2y^{3})\,dy = -\tfrac{1}{2}\,du, temos
\int(7y-2y^{3})\,e^{y^{4}-7y^{2}}\,dy = \int \left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) e^{u}.
Tirando a constante -\tfrac{1}{2} para fora da integral:
= -\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} em relação a u é e^{u}. Assim
-\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = -\tfrac{1}{2} e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original y (substituindo u=y^{4}-7y^{2}):
-\tfrac{1}{2} e^{u} + C = -\tfrac{1}{2} e^{y^{4}-7y^{2}} + C.
Verificação rápida (para ficar seguro): se derivarmos -\tfrac{1}{2} e^{y^{4}-7y^{2}} usando a regra da cadeia, obtemos
-\tfrac{1}{2} e^{y^{4}-7y^{2}}\cdot(4y^{3}-14y) = e^{y^{4}-7y^{2}}\cdot(7y-2y^{3}),
o que confirma que nossa primitiva está correta. Boa! Você sobreviveu à regra da cadeia reversa.

Resposta

-\dfrac{1}{2}e^{y^{4}-7y^{2}}+C

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