Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas: a função a ser integrada é um produto de um polinômio em
(isto é,
) e uma exponencial com expoente
. Não há mais restrições nem dados adicionais.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): quando vemos uma exponencial
e a derivada desse “algo” aparece (ou quase aparece) multiplicando
, costuma funcionar bem a substituição
. Aqui o “algo” é
. Vamos testar essa substituição. Isso é o mesmo que tentar inverter a regra da cadeia (a derivada de
é
), então fazer
costuma simplificar.
Passo 3
Fazendo a substituição proposta:
Agora calculamos
em função de
. Diferenciando em relação a
:
Podemos escrever isso como
Repare que
. Então
Passo 4
Agora relacionamos isso com o polinômio que aparece na integral original, que é
. Observação útil:
Usando a relação obtida para
, temos
Portanto
Essa expressão mostra que o fator polinomial vezes
transforma-se numa constante vezes
, ou seja, a substituição funciona direitinho.
Passo 5
Substituímos na integral original: como
e
, temos
Tirando a constante
para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
):
Verificação rápida (para ficar seguro): se derivarmos
usando a regra da cadeia, obtemos
o que confirma que nossa primitiva está correta. Boa! Você sobreviveu à regra da cadeia reversa.