Calcule $Vlog_{3}(81)$ utilizando a base 10, adaptando para uma calculadora padrão.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o valor de \log_{3}(81) adaptando o cálculo para usar a base 10 (ou seja, usando \log comum disponível numa calculadora padrão).
Informações dadas: o logaritmando é 81 e a base do logaritmo pedido é 3. A calculadora padrão fornece \log na base 10.

Passo 2

Primeira observação útil (sem calculadora): procurar representar o logaritmando como potência da base. Se eu conseguir escrever 81 como uma potência de 3, então o logaritmo será esse expoente. Vou tentar:
3^1 = 3,\quad 3^2 = 9,\quad 3^3 = 27,\quad 3^4 = 81.
Logo 81 = 3^4. Portanto, pela definição de logaritmo,
\log_{3}(81)=4.
Essa é a resposta exata e rápida — mas agora vou mostrar como fazer isso usando a base 10 na calculadora, como o enunciado pediu.

Passo 3

Vou explicar a fórmula que permite mudar a base do logaritmo (essa é a ferramenta para usar a calculadora). Seja x=\log_{a}(b). Pela definição isso significa
a^{x}=b.
Tomando logaritmo de base c em ambos os lados (qualquer base serve, eu escolho c=10 para a calculadora), obtemos
\log_{c}(a^{x})=\log_{c}(b).
Pelo fato de \log_{c}(a^{x})=x\log_{c}(a), segue
x\log_{c}(a)=\log_{c}(b).
Isolando x,
x=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}.
Essa é a fórmula de mudança de base:
\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com a=3, b=81 e c=10 (a função \log da calculadora), tenho
\log_{3}(81)=\frac{\log(81)}{\log(3)}.
Agora explico por que isso retorna exatamente 4 mesmo que eu use a calculadora: como vimos em \

Passo 5

\frac{\log(81)}{\log(3)}=\frac{\log(3^{4})}{\log(3)}=\frac{4\log(3)}{\log(3)}=4.

Passo 6

Se quiser confirmar numericamente na calculadora comum (apenas para treinar o procedimento): calcule \log(81) e \log(3) e divida. Valores aproximados (usando vírgula como separador decimal):
\log(81)\approx 1,908485\quad\text{e}\quad \log(3)\approx 0,477121.
Fazendo a divisão:
\frac{1,908485}{0,477121}\approx 4,0,
confirmando a resposta exata 4.

Resposta

4

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